Změna teploty tání

Úloha číslo: 458

Změna molární entropie při roztávání ledu je 22,2 J mol−1K−1. Určete změnu teploty tání, jestliže se vnější tlak změnil z hodnoty 100 kPa na hodnotu 200 kPa.

  • Nápověda 1

    Při výpočtu změny teploty ΔT vyjděte z tzv. Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Rozmyslete si, které veličiny v ní znáte a které musíte ještě vyjádřit.

  • Nápověda 2

    Protože se pohybujeme v poměrně malém rozpětí teplot, můžeme změnu molární entropie ΔSmol, a tudíž i celou pravou stranu Clausiovy-Clapeyronovy rovnice, považovat za konstantu.

  • Zápis

    ΔSmol = 22,2 J mol−1K−1 změna molární entropie při roztávání ledu
    p1 = 100 kPa = 100 000 Pa počáteční hodnota tlaku
    p2 = 200 kPa = 200 000 Pa cílová hodnota tlaku
    ΔT = ?  změna teploty tání

    Z tabulek:

    ρv = 1000 kg m−3 hustota vody
    ρl = 917 kg m−3 hustota ledu
    Mm = 0,018 kg mol−1 molární hmotnost vody
  • Rozbor

    Teplota, při níž dochází k fázovému přechodu, je závislá na tlaku. Klasickým příkladem je Papinův tlakový hrnec, v němž voda vaří až při teplotách značně vyšších než 100 °C. Naopak ve vysokých horách je bod varu vody díky sníženému tlaku posunut směrem dolů.

    Kvantitativně je možné tyto změny vyjádřit pomocí tzv. Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Jedná se v podstatě o diferenciální rovnici udávající skutečnost, že podíl elementární změny tlaku a elementární změny teploty, za níž probíhá fázový přechod, je roven podílu molárního tepla přeměny a výrazu, v němž je součin termodynamické teploty a rozdílu molárních objemů látky v 2. a 1. fázi.

    Abychom získali vztah, v němž vystupují jen zadané veličiny, musíme rovnici upravit. Podíl molárního tepla a teploty nahradíme změnou molární entropie. Oba molární objemy vyjádříme jako podíl molární hmotnosti a příslušné hustoty. Poté, co zapíšeme změnu tlaku jako rozdíl koncového a počátečního tlaku, dostaneme vztah, ze kterého již můžeme rovnou vytknout hledanou změnu teploty.

  • Řešení

    Při výpočtu vyjdeme z tzv. Clausiovy-Clapeyronovy rovnice, jež je nejčastěji udávána ve tvaru

    \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{L_{mol}}{T(V_{2m}-V_{1m})},\]

    kde p je tlak, T termodynamická teplota, za níž probíhá fázový přechod, Lmol molární teplo a V1mV2m molární objemy látky v 1. a 2. fázi.

    Molární teplo Lmol neznáme. Uvědomíme-li si však, že pro změnu molární entropie ΔSmol platí vztah

    \[\mathrm{\Delta}S_{mol}=\frac{L_{mol}}{T},\]

    můžeme původní rovnici přepsat ve tvaru

    \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{\Delta}S_{mol}}{V_{2m}- V_{1m}}.\]

    Dále musíme vyjádřit také molární objem V1m ledu a V2m vody pomocí zadaných veličin. Použijeme k tomu známé vztahy

    \[V_{1m}=\frac{M_{m}}{\rho_{l}},\] \[V_{2m}=\frac{M_{m}}{\rho_{v}},\]

    kde Mm je molární hmotnost vody (a samozřejmě i ledu), ρl hustota ledu a ρv hustota vody.

    Dosazením do Clausiovy-Clapeyronovy rovnice potom dostáváme

    \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{\Delta}S_{mol}}{\frac{M_{m}}{\rho_{v}}-{\frac{M_{m}}{\rho_{l}}}}.\]

    Protože se pohybujeme v poměrně malém rozpětí teplot, můžeme změnu molární entropie ΔSmol, a tudíž i celou pravou stranu Clausiovy-Clapeyronovy rovnice, považovat za konstantu. Díky tomu nemusíme řešit diferenciální rovnici a můžeme nahradit diferenciální přírůstky klasickými „deltami“:

    \[\frac{\mathrm{\Delta}p}{\mathrm{\Delta}T}=\frac{\mathrm{\Delta}S_{mol}}{\frac{M_{m}}{\rho_{v}}-{\frac{M_{m}}{\rho_{l}}}}.\]

    Odtud již rovnou vyjádříme hledanou změnu teploty ΔT:

    \[\mathrm{\Delta}T=\frac{\mathrm{\Delta}p\left(\frac{M_{m}}{\rho_{v}}-{\frac{M_{m}}{\rho_{l}}}\right)}{\mathrm{\Delta}S_{mol}}.\]

    Nakonec ještě změnu tlaku Δp rozepíšeme jako rozdíl konečného p2 a původního p1 tlaku

    \[\mathrm{\Delta}T=\frac {(p_{2}-p_{1}) \left(\frac{M_{m}}{\rho_{v}}-{\frac{M_{m}}{\rho_{l}} }\right)}{\mathrm{\Delta}S_{mol}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[\mathrm{\Delta}T=\frac {(p_{2}-p_{1}) \left(\frac{M_{m}}{\rho_{v}}-{\frac{M_{m}}{\rho_{l}} }\right)}{\mathrm{\Delta}S_{mol}}=\frac {(200\,000-100\,000)\cdot \left(\frac{0{,}018}{1000}-\frac{0{,}018}{917}\right)}{22{,}2}\,\mathrm{K}\] \[\mathrm{\Delta}T\dot{=}-0{,}0073\,\mathrm{K}\]
  • Odpověď

    Teplota tání vody se při zadaném zvýšení tlaku sníží přibližně o 0,0073 K.

  • Komentář

    Při počítání s Clausiovou-Clapeyronovou rovnicí je potřeba dávat si pozor na znaménka.

    V našem případě má voda větší hustotu než led, díky tomu je její molární objem menší (V2m < V1m), a při zvýšení tlaku (dp > 0) tedy zákonitě dojde ke snížení teploty fázové přeměny (dT < 0).

    Podobnou úvahu je potřeba provést u každé úlohy tohoto typu, jinak hrozí, že získaný výsledek bude sice číselně správný, avšak fyzikálně zcela nesmyslný!

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze