Sbírka řešených úloh

Střední volná dráha argonu

Úloha číslo: 419

• Nápověda 1

  V zadání je uvedeno, že máme určit střední volnou dráhu molekul za normálních podmínek. Co to znamená?

• Normální podmínky

  Znamená to, že máme určit střední volnou dráhu molekul při teplotě 273,15 K a tlaku 101 325 Pa.

• Nápověda 2

  Střední volná dráha \(\bar{\lambda}\) udává, jakou průměrnou vzdálenost urazí molekula mezi dvěma srážkami. Pokuste se vymyslet, na kterých veličinách závisí.

  Pro její výpočet potom použijte známý vzorec statistické fyziky.

• Vztah pro střední volnou dráhu

  Střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\) molekul lze vypočítat pomocí vzorce

  \[ \bar{\lambda}=\frac{kT}{\pi\sqrt{2}\,pd^{2}}, \]

  kde k je Boltzmannova konstanta, T teplota, p tlak a d průměr molekuly.

• Zápis

  d = 0,4 nm = 4·10−10 m	průměr molekul argonu
  \(\bar{\lambda}\,=\,?\)	střední volná dráha molekul argonu

  ---

  Z tabulek:

  T = 273,15 K	teplota za normálních podmínek
  p = 101 325 Pa	tlak za normálních podmínek
  k = 1,38·10−23 JK−1	Boltzmannova konstanta

• Rozbor

  Střední volná dráha ve své podstatě udává, jakou průměrnou vzdálenost urazí molekula mezi dvěma srážkami.

  K jejímu výpočtu použijeme přímo vzorec ze statistické fyziky, který říká, že je střední volná dráha přímo úměrná teplotě a nepřímo úměrná průřezu molekuly a tlaku.

• Řešení

  Střední volná dráha \(\bar{\lambda}\) ve své podstatě udává, jakou průměrnou vzdálenost urazí molekula mezi dvěma srážkami.

  Je pochopitelné, že je nepřímo úměrná tlaku p (nízký tlak znamená malou hustotu, a tedy minimum vzájemných srážek)

  \[\bar{\lambda}\sim\frac{1}{p}.\]

  Zároveň je nepřímo úměrná průřezu molekuly, a tedy druhé mocnině jejího průměru d (když je něco malé, snáz se to vyhne srážkám)

  \[\bar{\lambda}\sim\frac{1}{{\pi}d^{2}}.\]

  A dále je přímo úměrná teplotě T (vyšší teplota má za následek rychlejší pohyb, a molekula proto stihne za stejný čas urazit delší vzdálenost)

  \[\bar{\lambda}\sim T.\]

  Přesný vzorec pro výpočet střední volné dráhy molekul udává statistická fyzika. Vypadá takto:

  \[ \bar{\lambda}=\frac{kT}{p{\pi}d^{2}\sqrt{2}}, \]

  kde k je Boltzmannova konstanta.

• Číselné dosazení

  \[\bar{\lambda}=\frac{kT}{p{\pi}d^{2}\sqrt{2}}\] \[\bar{\lambda}=\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot{273{,}15}}{101\,325\cdot\pi\cdot{4^{2}}\cdot{10^{-20}}\cdot\sqrt{2}}\,\,\mathrm{m}\] \[\bar{\lambda}\dot{=}5{,}2\cdot{10^{-8}}\,\,\mathrm{m}=52\,\,\mathrm{nm}.\]

• Odpověď

  Střední volná dráha molekul argonu za normálních podmínek je zhruba 52 nm.