Ohřívání dusíku
Úloha číslo: 337
Dusíku N2 o hmotnosti 1,0 g dusíku, teplotě 300 K a tlaku 100 kPa jsme dodali teplo 100 J
a) izochoricky,
b) izobaricky.
Určete výslednou teplotu, tlak a objem dusíku. Dále určete, jakou plyn vykonal práci a jak se změnila jeho vnitřní energie.
Nápověda
Úlohu lze vyřešit pomocí prvního termodynamického zákona (což není nic jiného než zákon zachování energie), který říká, že:
Změna vnitřní energie plynu se rovná teplu dodanému plynu a práci, kterou vykonalo na plyn okolí (jeho stlačováním).
Dále je třeba si uvědomit, že:
• Pokud ohřívání plynu probíhá izochoricky, nemění se jeho objem, tudíž se nekoná práce.
• Pokud ohřívání plynu probíhá izobaricky, je vykonaná práce daná součinem tlaku a změny objemu.
• Změnu teploty plynu lze z dodaného tepla určit pomocí měrné tepelné kapacity dusíku (při konstantním objemu, resp. tlaku), kterou najdeme v tabulkách.
Zápis a označení
m = 1,0 g hmotnost dusíku N2 t0 = 27 °C ⇒ T0 = 300 K počáteční teplota p0 = 1,00·105 Pa počáteční tlak Q = 100 J dodané teplo Ta, pa, Va, Wa, ΔUa hledané veličiny pro izochorický děj Tb, pb, Vb, Wb, ΔUb hledané veličiny pro izobarický děj Z tabulek:
Ar(N) = 14 relativní atomová hmotnost dusíku N cV = 740 J kg-1 K-1 měrná tepelná kapacita dusíku N2 při konstantním objemu cp = 1 040 J kg-1 K-1 měrná tepelná kapacita dusíku N2 při konstantním tlaku Rozbor
Nejprve ze stavové rovnice pro ideální plyn určíme ze zadaných hodnot počáteční objem dusíku. Dále při řešení úlohy využijeme první termodynamický zákon. Jedná se vlastně o formulaci zákona zachování energie, která říká, že změna vnitřní energie soustavy se rovná součtu dodaného tepla a práce, kterou vykoná okolí na soustavu. Jestliže teplo soustavě (plynu) odebíráme nebo plyn koná práci, je třeba danou energii uvažovat se záporným znaménkem.
a) Při izochorickém ději se nemění objem plynu, a plyn tedy nekoná práci. Dodané teplo se tedy projeví zvýšením vnitřní energie plynu. Zvýšení teploty plynu spojené s touto změnou určíme pomocí měrné tepelné kapacity dusíku N2 za konstantního objemu. Konečný tlak dusíku N2 určíme ze stavové rovnice ideálního plynu.
b) Při izobarickém ději se zvětšuje objem plynu, plyn koná práci, ale zároveň se zvyšuje i jeho teplota, a tedy i vnitřní energie. Zde můžeme výslednou teplotu určit pomocí měrné tepelné kapacity dusíku N2 za konstantního tlaku. Práci při izobarickém ději určíme jako součin tlaku a změny objemu. Rozdíl mezi dodaným teplem a prací vykonanou plynem bude roven změně vnitřní energie plynu.
Řešení
Počáteční objem plynu V0 určíme ze stavové rovnice pro ideální plyn:
\[p_0V_0\,=\,nRT_0\,,\]za látkové množství n dosadíme podíl hmotnosti m a molární hmotnosti Mm dusíku N2. Molární hmotnost získáme z relativní atomové hmotnosti dusíku Ar(N). Nezapomeneme přitom, že naše molekula je tvořena dvěma atomy. Tedy:
\[M_\mathrm{m}\,=\,2A_\mathrm{r}\left(\mathrm{N}\right)\,\mathrm{g\,mol^{-1}}\,=\,2{\cdot} 14\,\mathrm{g\,mol^{-1}}\,=28\,\mathrm{g\,mol^{-1}}\,=28\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}\] \[V_0\,=\,n\frac{RT_0}{p_0}\,=\,\frac{m}{M_\mathrm{m}}\,\frac{RT_0}{p_0}\,=\,\frac{10^{-3}}{0{,}028}\cdot \frac{8{,}31\cdot{ 300}}{10^5}\,\mathrm{m^3}\,=\,8{,}9\cdot{10^{-4}}\,\mathrm{m^3}\] \[V_0\,=\,0{,}89\,\mathrm{l}.\]a) Při izochorickém ději plyn nekoná práci a první termodynamický zákon má tedy tvar:
\[Q\,=\,\Delta U.\]Pomocí měrné tepelné kapacity dusíku za konstantního objemu cV vyjádříme vztah mezi změnou teploty plynu a dodaným teplem:
\[Q\,=\,c_\mathrm{V}m\left(T_\mathrm{a}\,-\,T_0\right).\]Odtud určíme konečnou teplotu Ta:
\[ T_\mathrm{a}\,=\,\frac{Q}{c_\mathrm{V}m}\,+\,T_0\,=\,\left(\frac{100}{740\cdot{0{,}001}}\,+\,300\right)\,\mathrm{K}\,\dot{=}\,435\,\mathrm{K}.\]Výsledný tlak určíme ze stavové rovnice (resp. její varianty pro izochorický děj, které se říká Charlesův zákon):
\[ \frac{p_0V_0}{T_0}\,=\,\frac{p_\mathrm{a}V_0}{T_\mathrm{a}}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}\frac{p_0}{T_0}\,=\,\frac{p_\mathrm{a}}{T_\mathrm{a}}\] \[ p_\mathrm{a}\,=\,p_0\frac{T_\mathrm{a}}{T_0}\,=\,10^5\cdot \frac{435}{300}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}1{,}45\cdot{10^5}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}1{,}5\cdot{10^5}\,\mathrm{Pa}. \]b) Při izobarickém ději plyn koná práci Wp a zároveň se mu mění vnitřní energie o ΔU. První termodynamický zákon tedy můžeme v tomto případě psát jako:
\[ Q\,=\,\Delta U\,+\,W_\mathrm{p}. \]Pomocí měrné tepelné kapacity dusíku za konstantního tlaku cp vyjádříme vztah mezi změnou teploty plynu a dodaným teplem:
\[Q\,=\,c_\mathrm{p}m\left(T_\mathrm{b}\,-\,T_0\right).\]Odtud určíme konečnou teplotu Tb:
\[ T_\mathrm{b}\,=\,\frac{Q}{c_\mathrm{p}m}\,+\,T_0\,=\,\left(\frac{100}{1040\cdot{0{,}001}}\,+\,300\right)\,\mathrm{K}\,\dot{=}396\,\mathrm{K}. \]Výsledný objem určíme ze stavové rovnice (resp. její varianty pro izobarický děj, které se říká Gay-Lussacův zákon):
\[ \frac{p_0V_0}{T_0}\,=\,\frac{p_0V_\mathrm{b}}{T_\mathrm{b}}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}\frac{V_0}{T_0}\,=\,\frac{V_\mathrm{b}}{T_\mathrm{b}} \] \[ V_\mathrm{b}\,=\,V_0\frac{T_b}{T_0}\,=\,0{,}89\cdot \frac{396}{300}\,\mathrm{l}\,\dot{=}\,1{,}2\,\mathrm{l}. \]Práci, kterou plyn vykoná, určíme z jeho tlaku a změny objemu:
\[ W_\mathrm{p}\,=\,p_0\left(V_\mathrm{b}\,-\,V_0\right)\,\dot{=}10^5\cdot \left(1{,}2\cdot{10^{-3}}\,-\,0{,}89\cdot{10^{-3}}\right)\,\mathrm{J}\,\dot{=}\,31\,\mathrm{J}. \]Odtud plyne, že změna vnitřní energie dusíku je:
\[ \Delta U\,=\,Q\,-\,W_\mathrm{p}\,\dot{=}\,\left(100\,-\,31\right)\,\mathrm{J}\,=\,69\,\mathrm{J}. \]Odpověď
Při izochorickém ohřívání se zvýši teplota dusíku asi na 435 K a jeho tlak asi na 1,45·105 Pa. Veškeré dodané teplo, tj. 100 J, se projeví zvýšením vnitřní energie dusíku a dusík nevykoná žádnou práci.
Při izobarickém ohřevu se teplota dusíku zvýší přibližně na 396 K a jeho objem asi na 1,2 l. Dusík vykoná práci přibližně 31 J a jeho vnitřní energie se zvýší zhruba o 69 J.
