Ledová dieta

Úloha číslo: 352

Voda nedodává lidskému tělu žádnou využitelnou energii, ale při ohřívání ledu na teplotu lidského těla člověk naopak energii spotřebuje (musí dodat). Kolik kostek ledu o hmotnosti 50 g a teplotě −20 °C by člověk musel spolykat, aby se zbavil pěti kilogramů tuku? Při spálení jednoho gramu tuku při metabolismu v lidském těle se uvolní teplo 38 kJ.

  • Nápověda

    Energie, kterou tělo uvolní spálením daného množství tuku, se využije na

    • ohřátí ledu na teplotu tání vody,
    • roztátí ledu na vodu
    • a ohřátí vzniklé vody na teplotu lidského těla.
  • Zápis

    m1 = 50 g = 0,050 kg hmotnost jedné ledové kostky
    tL = −20 °C teplota ledu
    mt = 5 kg hmotnost tuku, který se má spálit
    H = (38 kJ)/(1 g) = 38×106 Jkg−1   energie uvolněná spalováním tuků
    N = ?počet kostek ledu

    Další potřebné hodnoty:

    tT = 36,6 °Cteplota lidského těla
    tt = 0 °C teplota tání ledu
    cL = 2,1 kJkg−1K−1 = 2100 Jkg−1K−1měrná tepelná kapacita ledu
    lt = 334 kJkg−1 =3,34×105 Jkg−1měrné skupenské teplo tání ledu
    cV = 4,18 kJkg−1K−1 = 4180 Jkg−1K−1   měrná tepelná kapacita vody
  • Rozbor

    Nejprve si určíme, kolik energie se uvolní při „spálení“ 5 kg tuku. Uvolněná energie se bude rovnat teplu, které přijme led. Toto teplo se skládá z tepla potřebného na ohřátí ledu na teplotu tání, skupenského tepla potřebného na roztátí ledu a tepla potřebného na ohřátí vzniklé vody na teplotu lidského těla. Odtud určíme hmotnost ledu a z ní počet kostek.

  • Řešení

    Energie uvolněná spálením tuku o hmotnosti mt:

    \[E=Hm_t.\]

    Teplo, které musíme dodat ledu o neznámé hmotnosti mL, aby roztál a ohřál se na tělesnou teplotu:

    ohřátí ledu: \[Q_1 = c_L m_L (t_t - t_L)\]

    roztátí ledu: \[L_t = l_t m_L\]

    ohřátí vody: \[Q_2 = c_V m_L(t_T - t_t)\]

    celkem: \[Q= c_L m_L (t_t - t_L) +l_t m_L + c_V m_L(t_T - t_t)=\]
    \[\ \, \ = m_L[c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t)].\]

    Energie získaná spálením tuku se má využít na ohřev ledu, tj. má platit:

    \[E=Q,\]

    \[hm_{t}=m_L [c_L (t_t-t_L) +l_t + c_V (t_T - t_t)].\]

    A odtud vyjádříme neznámou hmotnost ledu a dosadíme zadané hodnoty:

    \[m_L = \frac{Hm_t}{c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t)}\]

    \[m_L = \frac{38 \cdot{10^6} \cdot 5}{2100 \cdot [0-(-20)] + 3{,}34 \cdot{10^5} + 4180 \cdot (36{,}8 - 0)}\,\mathrm kg \dot= \]
    \[\ \, \ \dot= 360 \,\mathrm kg \]

    Nakonec určíme počet kostek ledu:

    \[N = \frac{m_L}{m_l}=\frac{Hm_t}{m_l[c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t)]}\]

    \[N \dot= 7200\]

  • Odpověď

    Při použití „ledové diety“ by bylo třeba na spálení pěti kilogramů tuku spolykat přibližně 7200 ledových kostek, což odpovídá asi 360 kg ledu.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze