Změna objemu tělesa při zahřívání
Úloha číslo: 325
Za teploty 0 °C má předmět ze železa tvar krychle s délkou hrany 0,2 m a předmět ze zinku tvar kvádru s délkou dvou hran rovněž 0,2 m a délkou třetí hrany 0,199 m.
Stanovte, za jaké teploty budou mít obě dvě tělesa stejný objem.
Nápověda
Rozmyslete si, co se děje s objemem tělesa při zvětšování jeho teploty a jaký pro tento jev platí vztah.
Rozbor
Při zvětšování teploty železné krychle a zinkového kvádru se budou zvětšovat objemy obou předmětů v důsledku tepelné objemové roztažnosti látek.
Protože má zinek větší koeficient délkové roztažnosti než železo, bude se objem zinkového kvádru zvětšovat rychleji než objem železné krychle. Oba objemy se tedy při určité teplotě vyrovnají. Tuto teplotu získáme z rovnosti konečných objemů obou těles a vztahu pro objemovou roztažnost.
Zápis
t1 = 0 °C počáteční teplota předmětů a = 0,2 m délka hrany železné krychle a dvou hran zinkového kvádru b = 0,199 m délka třetí hrany zinkového kvádru tr = ? teplota, při které budou mít obě tělesa stejný objem Z tabulek:
αFe = 1,2·10−5 K−1 koeficient délkové roztažnosti železa αZn = 2,9·10−5 K−1 koeficient délkové roztažnosti zinku Řešení
Při zvýšení teploty se bude objem železného tělesa zvětšovat vzhledem k nižšímu koeficientu roztažnosti pomaleji než u zinku. V důsledku toho se objemy obou těles při určité teplotě tr > 0 vyrovnají. K tomu, abychom zjistili, o jakou teplotu se jedná, musíme nejdřív stanovit koeficienty objemové roztažnosti u obou těles.
Mezi koeficientem teplotní délkové roztažnosti α a objemové roztažnosti β platí:
\[\beta_\mathrm{Fe} = 3\alpha_\mathrm{Fe}\,,\] \[\beta_\mathrm{Zn} = 3\alpha_\mathrm{Zn}\,.\]Nyní vyjdeme z rovnosti konečných objemů obou těles:
\[V_\mathrm{Fe}=V_\mathrm{Zn}\]a dosadíme vztah pro objemovou roztažnost:
\[V_\mathrm{0Fe}\left[1+\beta_\mathrm{Fe}(t_\mathrm{r}-t_{1})\right]=V_\mathrm{0Zn}\left[1+\beta_\mathrm{Zn}(t_\mathrm{r}-t_{1})\right],\]kde t1 je počáteční teplota obou předmětů.
Dále dosadíme počáteční objemy V0Fe = a3 a V0Zn = a2b, kde a, b označují rozměry daných předmětů:
\[a^{3}\left[1+\beta_\mathrm{Fe}(t_{r}-t_{1})\right]=a^{2}b\left[1+\beta_\mathrm{Zn}(t_{r}-t_{1})\right].\]Nyní postupně vyjádříme hledanou teplotu tr:
\[a^{3}-a^{2}b=(t_{r}-t_{1})(a^{2}b\beta_\mathrm{Zn}-a^{3}\beta_\mathrm{Fe})\,,\] \[t_\mathrm{r}-t_{1}=\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_\mathrm{Zn}-a^{3}\beta_\mathrm{Fe}}\,,\] \[t_\mathrm{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_\mathrm{Zn}-a^{3}\beta_\mathrm{Fe}}\,.\]Číselné dosazení
\[\beta_\mathrm{Fe}=3\alpha_\mathrm{Fe} = 3\cdot{1{,}2}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=3{,}6\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\] \[\beta_\mathrm{Zn}=3\alpha_\mathrm{Zn} = 3\cdot{2{,}9}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=8{,}7\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\]
\[t_\mathrm{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{(a^{2}b\beta_\mathrm{Zn}-a^{3}\beta_\mathrm{Fe})}=\] \[= \frac{0{,}2^{3}-0{,}2^{2}\cdot{0{,}199}}{(0{,}2^{2}\cdot0{,}199\cdot{8{,}7}\cdot{10^{-5}}-0{,}2^{3}\cdot{3{,}6}\cdot{10^{-5}})}\,\mathrm{^{\circ}C}\]
\[t_\mathrm{r} \dot= 98{,}9\,\mathrm{^{\circ}C}\]Odpověď
Objemy obou těles se vyrovnají při teplotě 98,9 °C.
