Sbírka řešených úloh

Roztok dusičnanu stříbrného

Úloha číslo: 460

• Nápověda – chemický vzorec dusičnanu stříbrného

  AgNO₃

• Nápověda

  Využijte toho, že je hustota ρ definována jako podíl hmotnosti m a objemu V.

  Hmotnost ani objem roztoku však neznáme. Rozmyslete si, jak je můžeme vyjádřit pomocí zadaných veličin.

• Hmotnost roztoku

  Hmotnost m_r roztoku je rovna součtu hmotnosti m_dus rozpuštěného dusičnanu a hmotnosti m_v vody.

  Jak můžeme vypočítat hmotnost vody, je-li zadaný její objem V₁?

• Objem roztoku

  Objem roztoku V_r lze vypočítat z koncentrace roztoku c, která je definována jako podíl látkového množství n dusičnanu a objemu V roztoku, tj.

  \[c = \frac{n}{V}.\]

  Jak bude vypadat vzorec pro látkové množství dusičnanu, máme-li zadanou jeho hmotnost m_dus?

• Zápis

  T = 293,15 K	teplota vody
  V1 = 0,5 l = 5·10−4 m3	objem vody při teplotě T
  mdus = 1 kg	hmotnost rozpuštěného dusičnanu
  c = 6,3 mol l−1 = 6,3·103 mol m−3	koncentrace vzniklého roztoku
  ρr = ?	hustota vzniklého roztoku

  ---

  Z tabulek:

  Mm = 0,16987 kg mol−1	molární hmotnost AgNO3
  ρv = 998,2 kg m−3	hustota vody při teplotě T

• Rozbor

  Hustotu roztoku zapíšeme jako podíl hmotnosti a objemu roztoku. Obě tyto veličiny musíme vyjádřit pomocí zadaných veličin.

  Hmotnost roztoku je dána součtem hmotnosti rozpuštěného dusičnanu stříbrného a hmotnosti vody. Tu určíme jako součin hustoty vody a jejího objemu.

  Objem roztoku získáme jako podíl látkového množství dusičnanu a koncentrace roztoku. K výpočtu látkového množství využijeme hmotnost dusičnanu a jeho molární hmotnost.

• Řešení

  Hustotu ρ_r roztoku spočítáme jako podíl jeho hmotnosti m_r a objemu V_r, který zabírá. Platí tedy vztah

  \[\rho_r=\frac{m_{r}}{V_{r}}.\]

  Celková hmotnost roztoku je dána součtem hmotností rozpuštěného dusičnanu stříbrného m_dus a vody m_v:

  \[m_{r}=m_{dus}+m_{v}.\]

  Hmotnost vody neznáme, můžeme ji však určit pomocí vzorce

  \[m_{v}=\rho_{v}V_{1},\]

  kde ρ_v je hustota vody a V₁ její původní objem.

  Pro celkovou hmotnost roztoku potom platí:

  \[m_{r}=m_{dus}+\rho_{v}V_{1}.\]

  Nyní známe hmotnost roztoku a můžeme se pustit do počítání jeho objemu V_r. K tomu nám pomůže znalost koncentrace c roztoku. Ta je totiž dána podílem látkového množství n a objemu V_r:

  \[c=\frac{n}{V_{r}}.\]

  Pro objem roztoku tedy platí

  \[V_{r}=\frac{n}{c}.\]

  Látkové množství rozpuštěného dusičnanu sice explicitně zadáno nemáme, můžeme jej však snadno spočítat ze známé hmotnosti m_dus a molární hmotnosti M_m této látky. Platí:

  \[n=\frac{m_{dus}}{M_{m}},\]

  a tedy i

  \[V_{r}=\frac{m_{dus}}{cM_{m}}.\]

  Nyní již známe vše potřebné a můžeme dosadit za hmotnost a objem roztoku do původního vzorce pro hustotu roztoku:

  \[\rho_{r}=\frac{m_{r}}{V_{r}}=\frac{m_{dus}+\rho_{v}V_{1}}{\frac{m_{dus}}{cM_{m}}}.\]

  Po jednoduché úpravě dostáváme

  \[\rho_{r}=\frac{(m_{dus}+\rho_{v}V_{1})cM_m}{m_{dus}}.\]

• Číselné dosazení

  Pozor! Při dosazování je třeba dávat velký pozor na jednotky. Pokud se chceme dopracovat k výsledku v základních jednotkách, je třeba dosazovat v metrech krychlových, molech na metr krychlový a podobně.

   

  \[\rho_{r}=\frac{(m_{dus}+\rho_{v}V_{1})cM_m}{m_{dus}}\] \[\rho_r= \frac{(1+998{,}2\cdot{5}\cdot{10^{-4}})\cdot6{,}3\cdot{10^3}\cdot{0{,}16987}}{1}\,\mathrm{kgm^{-3}}\] \[\rho_{r}\dot{=}1600\,\mathrm{kgm^{-3}}\]

• Odpověď

  Hustota roztoku dusičnanu stříbrného je přibližně 1600 kg m⁻³.