Dusík v láhvi
Úloha číslo: 376
V nádobě je uzavřen dusík o látkovém množství 1 mol, přičemž střední kinetická energie translačního pohybu jeho molekul je 3,5 kJ. Určete, jaká je nejpravděpodobnější rychlost pohybujících se molekul dusíku po zvýšení teploty v nádobě o 200 K.
Nápověda 1
Použijte vztah pro střední kinetickou energii \(\bar{E}_k\) plynu a vypočítejte z něj teplotu T1 dusíku před zahřátím.
Nápověda 2 – nejpravděpodobnější rychlost
K výpočtu nejpravděpodobnější rychlosti vp molekul zahřátého dusíku použijte vztah
\[v_p=\sqrt{\frac{2RT_2}{M_m}},\]kde Mm je molární hmotnost dusíku, T2 teplota zahřátého dusíku a R molární plynová konstanta.
Zápis
\(\bar{E}_k=3{,}5\,\mathrm{kJ}=3500\,\mathrm{J}\) střední kin. energie translačního pohybu molekul dusíku n = 1 mol látkové množství dusíku ΔT = 200 K zvýšení teploty vp = ? nejpravděpodobnější rychlost
Z tabulek:
Mm = 28 g mol−1 = 0,028 kg mol−1 molární hmotnost dusíku R = 8,31 J mol−1K−1 molární plynová konstanta Rozbor
Ze vztahu pro střední kinetickou energii plynu, podle kterého je tato energie přímo úměrná termodynamické teplotě, vyjádříme teplotu dusíku před zahřátím. Odtud přičtením změny teploty zjistíme teplotu zahřátého dusíku. Tu potom dosadíme do vztahu pro nejpravděpodobnější rychlost molekul.
Řešení
Střední kinetická energie \(\bar{E}_k\) libovolného plynu je přímo úměrná jeho termodynamické teplotě T. Platí přitom vztah
\[\bar{E}_k=\frac{3}{2}nRT,\]kde n je látkové množství plynu a R molární plynová konstanta.
Z tohoto vzorce můžeme snadno zjistit teplotu T1, kterou měl dusík před zahřátím:
\[T_1=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}.\]Pro teplotu T2 zahřátého dusíku potom platí
\[T_2=T_1+\mathrm{\Delta}T=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}+\mathrm{\Delta}T.\]K výpočtu nejpravděpodobnější rychlosti vp molekul dusíku nakonec použijeme známý vztah
\[v_p=\sqrt{\frac{2RT_2}{M_m}},\]kde Mm je molární hmotnost dusíku, a dosadíme do něj získaný výraz pro teplotu T2:
\[v_p=\sqrt{\frac{2R}{M_m}\left(\frac{2\bar{E}_k}{3nR}+\mathrm{\Delta} T\right)}.\]Číselné dosazení
\[v_p=\sqrt{\frac{2R}{M_m}\left(\frac{2\bar{E}_k}{3nR}+\mathrm{\Delta} T\right)}=\sqrt{\frac{2\cdot{8{,}31}}{0{,}028}\cdot\left(\frac{2\cdot{3500}}{3\cdot{1}\cdot{8{,}31}}+200\right)}\,\mathrm{m\,s}^{-1}\] \[v_p\dot{=}530\,\mathrm{m\,s}^{-1}\]Zkusme ještě pro zajímavost vyjádřit nejpravděpodobnější rychlost molekul dusíku před zahřátím:
\[v_p=\sqrt{\frac{4\bar{E}_k}{3nM_m}}=\sqrt{\frac{4\cdot{3500}}{3\cdot{1}\cdot{0{,}028}}}\,\mathrm{m\,s}^{-1}\] \[v_p\dot{=}410\,\mathrm{m\,s}^{-1}\]Odpověď
Nejpravděpodobnější rychlost molekul dusíku po zvýšení teploty je přibližně 530 ms−1.
Komentář
Zkuste porovnat výslednou rychlost molekul dusíku s rychlostmi, se kterými se setkáváme v běžném životě.
Porovnáním vypočtené hodnoty s rychlostí zvuku ve vzduchu za normálních podmínek dostáváme přibližnou hodnotu Machova čísla 1,6. Jedná se tedy o rychlost nadzvukovou.
