Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Účinnost Ottova cyklu
Úloha číslo: 412
Stanovte účinnost Ottova cyklu skládajícího se z následujících 4 dějů:
- Adiabatická komprese z objemu V1 na objem V2.
- Izochorické zahřátí z teploty T2 na teplotu T3.
- Adiabatická expanze z objemu V2 zpět na objem V1.
- Izochorické ochlazení z teploty T4 zpět na počáteční teplotu T1.
Máte zadánu Poissonovu konstantu plynu κ a tzv. kompresní poměr
r=V1V2.Nápověda
a) Rozmyslete si, zda není možné spočítat práci plynu, kterou plyn vykoná během jednoho cyklu cyklického děje, bez použití vzorců pro práci.
b) Zkuste upravit Poissonův zákon tak, aby v něm vystupovala termodynamická teplota.
Rozbor
Abychom mohli vyjádřit účinnost Ottova cyklu, musíme znát práci vykonanou plynem během jednoho oběhu a teplo, které plyn během jednoho cyklu přijal. Účinnost je pak podíl práce a dodaného tepla.
Pro kruhové děje platí, že změna celkové vnitřní energie plynu během jednoho oběhu je nulová. To nastává díky tomu, že plyn má na začátku i na konci každého cyklu stejný stav a že vnitřní energie je stavová veličina (její změna závisí pouze na počátečním a koncovém stavu, nikoli na průběhu děje). Podle prvního termodynamického zákona tedy platí, že práci plynu lze vyjádřit jako rozdíl tepla dodaného a odevzdaného.
Protože při adiabatických dějích se teplo nepředává, tak plyn přijme teplo pouze při izochorickém zahřátí a odevzdá teplo při izochorickém ochlazení.
Dodané a odevzdané teplo spočítáme pomocí molární tepelné kapacity při konstantním objemu. Po určení těchto tepel již můžeme vyjádřit účinnost Ottova cyklu. Pro vyjádření účinnosti pomocí kompresního poměru a Poissonovy konstanty využijeme Poissonův zákon upravený pomocí stavové rovnice pro ideální plyn tak, že se v něm vyskytuje termodynamická teplota místo tlaku.
Řešení
Na počátku je jako obvykle třeba získat představu o tom, jak uvedený cyklus vypadá v p–V diagramu. K tomu nám poslouží znalosti o průběhu izochor a adiabat. Přibližný nákres Ottova cyklu je patrný z následujícího obrázku.
Účinnost η cyklu je definována jako
η=WQdod,kde W je práce vykonaná během jednoho cyklu plynem zmenšená o práci vykonanou vnějšími silami (v diagramu je znázorněna jako obsah plochy ohraničené cyklem!) a Qdod teplo dodané během oběhu do systému.
Práci W bychom mohli spočítat díky znalosti vztahů mezi tlakem a objemem během adiabatické expanze a komprese (při izochorických dějích je práce samozřejmě nulová). V této úloze však bude výhodnější vyjít z toho, že celková změna vnitřní energie za celý cyklus musí být rovna nule (dostáváme se zase do stejného stavu jako na začátku, tudíž je stejná teplota, a tedy i vnitřní energie!). Z 1. termodynamického zákona pak vyplývá, že práci plynu lze vyjádřit jako rozdíl dodaného tepla Qdod a odevzdaného tepla Qod. Vzorec pro účinnost cyklu tak můžeme přepsat do tvaru:
η=WQdod=Qdod−QodQdod.Nejprve spočteme dodané teplo Qdod. Je jasné, že při adiabatických dějích tepelná výměna vůbec neprobíhá, a při izochorickém ochlazení je teplo ze systému naopak odebíráno. Díky tomu bude teplo dodáváno pouze během izochorického zahřátí z teploty T2 na T3. Velikost tohoto tepla lze pomocí látkového množství plynu n a jeho molární tepelné kapacity CV vyjádřit následovně:
Qdod=nCV(T3−T2)Velmi podobným způsobem vyjádříme i velikost odevzdaného tepla Qod. Již víme, že k odevzdávání dochází pouze při izochorickém ochlazení z teploty T4 zpět na počáteční teplotu T1. Díky tomu bude platit:
Qod=nCV(T4−T1)Dosazením do vzorce pro účinnost cyklu pak okamžitě dostáváme:
η=Qdod−QodQdod=nCV(T3−T2)−nCV(T4−T1)nCV(T3−T2)= =1−T4−T1T3−T2Nyní bude potřeba nějakým způsobem vyjádřit rozdíly teplot pomocí zadaného kompresního poměru
r=V1V2a Poissonovy konstanty κ.
K tomu se nám bude hodit Poissonův zákon pVκ = C = konst., kde jsme konstantu označili C a který upravíme pomocí stavové rovnice pro ideální plyn
pVT=K⇒p=TVKVyjádřený tlak dosadíme do Poissonova zákona, rovnici upravíme a konstanty (C a K) dáme na jednu stranu:
pVκ=C⇒TVVκK=C⇒TVκ−1=CK=konst.Takto upravený Poissonův zákon postupně uplatníme pro oba adiabatické procesy. Pro adiabatickou expanzi dostáváme vztah
T4Vκ−11=T3Vκ−12,pro adiabatickou kompresi poté
T1Vκ−11=T2Vκ−12.Nyní odečteme druhou rovnici od první a vytkneme V1κ − 1 na straně jedné a V2κ − 1 na straně druhé a získáme:
(T4−T1)Vκ−11=(T3−T2)Vκ−12⇒T4−T1T3−T2=(V2V1)κ−1⇒ ⇒T4−T1T3−T2=(1r)κ−1Vidíme, že se nám rozdíly teplot skutečně podařilo vyjádřit pomocí zadaných veličin. Dosazením do vzorce pro účinnost pak dostáváme konečný vzorec:
η=1−T4−T1T3−T2=1−(1r)κ−1 η=1−r1−κOdpověď
Účinnost Ottova cyklu je tedy dána vztahem
η=1−r1−κ.