Účinnost Carnotova stroje
Úloha číslo: 427
Carnotův stroj pracuje s účinností 40 %. Jak se má změnit teplota ohřívače, aby účinnost vzrostla na 50 %? Teplota chladiče zůstane na hodnotě 9 °C.
Nápověda
Účinnost Carnotova cyklu je dána vztahem
\[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\]kde T1 je teplota ohřívače a T2 teplota chladiče.
Rozbor
Napíšeme si vztahy pro původní účinnost Carnotova stroje a pro účinnost po změně teploty ohřívače. Z nich vyjádříme původní a novou teplotu ohřívače. Změnu teploty ohřívače nakonec určíme jako rozdíl těchto dvou teplot.
Zápis
η1 = 40 % = 0,4 původní účinnost Carnotova stroje η2 = 50 % = 0,5 účinnost po změně teploty ohřívače t2 = 9 °C => T2 = 282 K teplota chladiče ΔT1 = ? změna teploty ohřívače Řešení
Nejprve si napíšeme vztah pro původní účinnost η1 Carnotova stroje a pro účinnost η2 po změně teploty ohřívače:
\[\eta_1=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \qquad \qquad \qquad \eta_2=\frac{T_1^*-T_2}{T_1^*},\]kde T1 je původní teplota ohřívače, T1* nová teplota ohřívače a T2 teplota chladiče.
Nyní z těchto výrazů vyjádříme neznámé teploty T1 a T1*:
\[T_1=\frac{T_2}{1-\eta_1}, \qquad \qquad \qquad T_1^*=\frac{T_2}{1-\eta_2}.\]Hledaná změna teploty ΔT1 ohřívače pak bude dána vztahem
\[\Delta T_1=T_1^*-T_1\] a po dosazení \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}.\]Číselné dosazení
\[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}=\left(\frac{282}{1-0{,}5}-\frac{282}{1-0{,}4}\right)\,\mathrm{K} \dot{=} 94\,\mathrm{K}\]Odpověď
Teplotu ohřívače musíme zvýšit o 94 K, tj. o 94 °C.
