Účinnost Carnotova stroje

Úloha číslo: 427

Carnotův stroj pracuje s účinností 40 %. Jak se má změnit teplota ohřívače, aby účinnost vzrostla na 50 %? Teplota chladiče zůstane na hodnotě 9 °C.

  • Nápověda

    Účinnost Carnotova cyklu je dána vztahem

    \[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\]

    kde T1 je teplota ohřívače a T2 teplota chladiče.

  • Rozbor

    Napíšeme si vztahy pro původní účinnost Carnotova stroje a pro účinnost po změně teploty ohřívače. Z nich vyjádříme původní a novou teplotu ohřívače. Změnu teploty ohřívače nakonec určíme jako rozdíl těchto dvou teplot.

  • Zápis

    η1 = 40 % = 0,4 původní účinnost Carnotova stroje
    η2 = 50 % = 0,5 účinnost po změně teploty ohřívače
    t2 = 9 °C => T2 = 282 K teplota chladiče
    ΔT1 = ? změna teploty ohřívače
  • Řešení

    Nejprve si napíšeme vztah pro původní účinnost η1 Carnotova stroje a pro účinnost η2 po změně teploty ohřívače:

    \[\eta_1=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \qquad \qquad \qquad \eta_2=\frac{T_1^*-T_2}{T_1^*},\]

    kde T1 je původní teplota ohřívače, T1* nová teplota ohřívače a T2 teplota chladiče.

    Nyní z těchto výrazů vyjádříme neznámé teploty T1T1*:

    \[T_1=\frac{T_2}{1-\eta_1}, \qquad \qquad \qquad T_1^*=\frac{T_2}{1-\eta_2}.\]

    Hledaná změna teploty ΔT1 ohřívače pak bude dána vztahem

    \[\Delta T_1=T_1^*-T_1\] a po dosazení \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}.\]
  • Číselné dosazení

    \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}=\left(\frac{282}{1-0{,}5}-\frac{282}{1-0{,}4}\right)\,\mathrm{K} \dot{=} 94\,\mathrm{K}\]
  • Odpověď

    Teplotu ohřívače musíme zvýšit o 94 K, tj. o 94 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze