Převody teplot mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnicí
Úloha číslo: 431
a) Nejvyšší zaznamenaná teplota v Údolí smrti (USA) byla 134 °F. Kolik je to ve stupních Celsia?
b) Při jaké teplotě ukazuje Fahrenheitova stupnice:
c) Při jaké teplotě se číselný údaj na Fahrenheitově stupnici shoduje s údajem na Celsiově stupnici?
Nápověda
Pokud ho neznáte, zkuste najít převodní vztah mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnicí např. v tabulkách.
Řešení a)
Použijeme převodní vztah mezi teplotou na Celsiově stupnici a teplotou na Fahrenheitově stupnici:
\[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\,\mathrm{,} \]kde tf je teplota ve stupních Fahrenheita a tc je teplota ve stupních Celsia.
Upravením vztahu dostáváme
\[ \frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=t_{\mathrm{f}}-32 \]a po vydělení \(\frac{9}{5}\)
\[ t_{\mathrm{c}}=\frac{5}{9}(t_{\mathrm{f}}-32)\,\mathrm{.} \]Nyní už můžeme do rovnice dosadit:
\[ t_c=\frac{5}{9}(134-32)\dot=56{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{.} \]Nápověda b)
1) Uvědomte si, že hledáme teploty, pro které platí tf = 2tc.
2) V tomto případě má platit, že \(t_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{c}}\).
Řešení b)
Opět použijeme převodního vztahu
\[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\,\mathrm{.} \]1) Fahrenheitova stupnice má ukazovat dvakrát větší číselnou hodnotu než stupnice Celsiova, tedy tf = 2tc.
Do převodního vztahu dosadíme \(t_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{f}}\) a dostaneme:
\[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{2}t_{\mathrm{f}}+32. \]Upravením vyjde:
\[ \frac{1}{10}t_{\mathrm{f}}=32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=320\,^{\circ}\mathrm{F}\,. \]Nyní můžeme ještě provést zkoušku:
\[320=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=288\] \[t_{\mathrm{c}}=160\,^{\circ}\mathrm{C}\, \]Vidíme tedy, že pro tuto teplotu platí, že Farenheitova stupnice ukazuje dvakrát větší hodnotu než Celsiova.
2) Fahrenheitova stupnice má ukazovat poloviční číselnou hodnotu oproti Celsiově stupnici, tedy \(t_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{c}}\). Do převodního vztahu dosadíme \(t_{\mathrm{c}}=2t_{\mathrm{f}}\) a dostaneme:
\[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}\cdot2t_{\mathrm{f}}+32. \]Upravením dostáváme výsledek:
\[ -\frac{13}{5}t_{\mathrm{f}}=32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=-\frac{160}{13}\,^{\circ}\mathrm{F}\dot=-12{,}3\,^{\circ}\mathrm{F}\,. \]Nyní opět provedeme zkoušku:
\[ -12{,}3=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[-\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=44{,}3\] \[t_{\mathrm{c}}=-24{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\, \]Pro tuto teplotu tedy skutečně platí, že Farenheitova stupnice ukazuje poloviční hodnotu než Celsiova.
Nápověda c)
Uvědomte si, že stačí do převodního vztahu dosadit tf = tc.
Řešení c)
Opět jde o jednoduchou úlohu na převodní vztah mezi oběma teplotními stupnicemi. Dosazením vztahu tf = tc dostáváme:
\[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{f}}+32\,\Rightarrow\,\frac{4}{5}t_{\mathrm{f}}=-32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=-40\,^{\circ}\mathrm{F}. \]Nyní ještě provedeme jednoduchou zkoušku dosazením do převodního vztahu:
\[ -40=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=-72\] \[t_{\mathrm{c}}=-40\,^{\circ}\mathrm{C} \]Vidíme, že pro tuto teplotu opravdu platí, že se číselné hodnoty na Farenheitově a Celsiově stupnici shodují.
Odpověď
a) Nejvyšší naměřená teplota v Údolí smrti je 56,7 °C.
b) Fahrenheitova stupnice ukazuje:
1) dvakrát větší číselnou hodnotu než Celsiova při teplotě 320 °F,2) poloviční hodnotu oproti Celsiově při teplotě −12,3 °F.c) Číselný údaj na Fahrenheitově stupnici se shoduje s údajem na Celsiově stupnici při teplotě −40 °F.
