Převody teplot mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnicí

Úloha číslo: 431

a) Nejvyšší zaznamenaná teplota v Údolí smrti (USA) byla 134 °F. Kolik je to ve stupních Celsia?

b) Při jaké teplotě ukazuje Fahrenheitova stupnice:

1) dvakrát větší číselnou hodnotu než Celsiova,
2) poloviční hodnotu oproti Celsiově?

c) Při jaké teplotě se číselný údaj na Fahrenheitově stupnici shoduje s údajem na Celsiově stupnici?

  • Nápověda

    Pokud ho neznáte, zkuste najít převodní vztah mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnicí např. v tabulkách.

  • Řešení a)

    Použijeme převodní vztah mezi teplotou na Celsiově stupnici a teplotou na Fahrenheitově stupnici:

    \[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\,\mathrm{,} \]

    kde tf je teplota ve stupních Fahrenheita a tc je teplota ve stupních Celsia.

    Upravením vztahu dostáváme

    \[ \frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=t_{\mathrm{f}}-32 \]

    a po vydělení \(\frac{9}{5}\)

    \[ t_{\mathrm{c}}=\frac{5}{9}(t_{\mathrm{f}}-32)\,\mathrm{.} \]

    Nyní už můžeme do rovnice dosadit:

    \[ t_c=\frac{5}{9}(134-32)\dot=56{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{.} \]
  • Nápověda b)

    1) Uvědomte si, že hledáme teploty, pro které platí tf = 2tc.

    2) V tomto případě má platit, že \(t_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{c}}\).

  • Řešení b)

    Opět použijeme převodního vztahu

    \[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\,\mathrm{.} \]

    1) Fahrenheitova stupnice má ukazovat dvakrát větší číselnou hodnotu než stupnice Celsiova, tedy tf = 2tc.

    Do převodního vztahu dosadíme \(t_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{f}}\) a dostaneme:

    \[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{2}t_{\mathrm{f}}+32. \]

    Upravením vyjde:

    \[ \frac{1}{10}t_{\mathrm{f}}=32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=320\,^{\circ}\mathrm{F}\,. \]

    Nyní můžeme ještě provést zkoušku:

    \[320=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=288\] \[t_{\mathrm{c}}=160\,^{\circ}\mathrm{C}\, \]

    Vidíme tedy, že pro tuto teplotu platí, že Farenheitova stupnice ukazuje dvakrát větší hodnotu než Celsiova.

    2) Fahrenheitova stupnice má ukazovat poloviční číselnou hodnotu oproti Celsiově stupnici, tedy \(t_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}t_{\mathrm{c}}\). Do převodního vztahu dosadíme \(t_{\mathrm{c}}=2t_{\mathrm{f}}\) a dostaneme:

    \[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}\cdot2t_{\mathrm{f}}+32. \]

    Upravením dostáváme výsledek:

    \[ -\frac{13}{5}t_{\mathrm{f}}=32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=-\frac{160}{13}\,^{\circ}\mathrm{F}\dot=-12{,}3\,^{\circ}\mathrm{F}\,. \]

    Nyní opět provedeme zkoušku:

    \[ -12{,}3=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[-\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=44{,}3\] \[t_{\mathrm{c}}=-24{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\, \]

    Pro tuto teplotu tedy skutečně platí, že Farenheitova stupnice ukazuje poloviční hodnotu než Celsiova.

  • Nápověda c)

    Uvědomte si, že stačí do převodního vztahu dosadit tf = tc.

  • Řešení c)

    Opět jde o jednoduchou úlohu na převodní vztah mezi oběma teplotními stupnicemi. Dosazením vztahu tf = tc dostáváme:

    \[ t_{\mathrm{f}}=\frac{9}{5}t_{\mathrm{f}}+32\,\Rightarrow\,\frac{4}{5}t_{\mathrm{f}}=-32\,\Rightarrow\,t_{\mathrm{f}}=-40\,^{\circ}\mathrm{F}. \]

    Nyní ještě provedeme jednoduchou zkoušku dosazením do převodního vztahu:

    \[ -40=\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}+32\] \[\frac{9}{5}t_{\mathrm{c}}=-72\] \[t_{\mathrm{c}}=-40\,^{\circ}\mathrm{C} \]

    Vidíme, že pro tuto teplotu opravdu platí, že se číselné hodnoty na Farenheitově a Celsiově stupnici shodují.

  • Odpověď

    a) Nejvyšší naměřená teplota v Údolí smrti je 56,7 °C.

    b) Fahrenheitova stupnice ukazuje:

    1) dvakrát větší číselnou hodnotu než Celsiova při teplotě 320 °F,
    2) poloviční hodnotu oproti Celsiově při teplotě −12,3 °F.

    c) Číselný údaj na Fahrenheitově stupnici se shoduje s údajem na Celsiově stupnici při teplotě −40 °F.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze