Sbírka řešených úloh

Oxid uhličitý v uzavřené nádobě

Úloha číslo: 1733

• Zápis

  m(CO2) = 1,1 kg	hmotnost oxidu uhličitého
  N = ?	počet molekul CO2 v uzavřené nádobě
  N0 = ?	počet molekul, které uniknou za 1 sekundu
  t = ?	doba, za kterou se vyprázdní nádoba

  ---

  Z tabulek:

  Ar(C) = 12,011	relativní atomová hmotnost uhlíku
  Ar(O) = 15,999	relativní atomová hmotnost kyslíku
  NA = 6,023·1023 mol−1	Avogadrova konstanta

• Rozbor

  Chceme zjistit, za jak dlouhou dobu se vyprázdní nádoba naplněná oxidem uhličitým. Víme, že ventilem unikne N₀ molekul za jednu sekundu. Zjistíme-li, kolik molekul obsahuje celá nádoba, můžeme už snadno dopočítat, za jak dlouhou dobu se zcela vyprázdní.

• Nápověda

  Jak zjistíme počet molekul oxidu uhličitého v nádobě, známe-li jeho hmotnost?

• Řešení nápovědy

  K určení počtu molekul N můžeme využít Avogadrovu konstantu N_A. Tato konstanta udává počet molekul v 1 molu látky. Vynásobíme-li Avogadrovu konstantu počtem molů, získáme hledaný počet molekul. Počet molů dané látky udává látkové množství n. Výsledný vztah bude mít tvar

  \[N = nN_\mathrm{A}.\tag{1}\]

  Avogadrovu konstantu najdeme v tabulkách, potřebujeme ještě určit látkové množství. Ze zadání známe hmotnost oxidu uhličitého uvnitř nádoby m, látkové množství tedy budeme určovat právě přes hmotnost. Potřebujeme jen znát hmotnost jednoho molu oxidu uhličitého (tuto veličinu nazýváme molární hmotnost a značíme M_m), kterou snadno vypočítáme s využitím tabulek nebo periodické soustavy prvků. Dále stačí celkovou hmotnost oxidu uhličitého vydělit hmotností jednoho molu a dostaneme počet molů oxidu uhličitého uvnitř nádoby. Látkové množství tedy vypočítáme ze vztahu

  \[n = \frac{m}{M_\mathrm{m}}.\tag{2}\]

• Řešení

  Chceme vypočítat, kolik molekul obsahuje 1,1 kg CO₂. Počet částic N vypočteme ze vztahu

  \[N = nN_\mathrm{A},\tag{1}\]

  kde n je látkové množství a N_A Avogadrova konstanta. Pro látkové množství n platí vztah

  \[n = \frac{m}{M_\mathrm{m}},\tag{2}\]

  kde m je hmotnost CO₂ a M_m je molární hmotnost CO₂. Ze vztahů (1) a (2) vyplývá:

  \[N = \frac{m}{M_\mathrm{m}}N_\mathrm{A}.\tag{3}\]

  Dobu, za kterou se nádoba vyprázdní, vypočteme tak, že počet částic v nádobě vydělím počtem částic, které uniknou z nádoby za 1 sekundu:

  \[t = \frac{N}{N_\mathrm{0}}.\tag{4}\]

  Dosadíme-li do (4) za N ze vztahu (3), získáme hledaný čas:

  \[t = \frac{mN_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}N_\mathrm{0}}.\tag{5}\]

• Molární hmotnost CO₂

  Pro molární hmotnost platí vztah (odvození vztahu je v úloze Vztah mezi relativní molekulovou a molární hmotností)

  \[M_\mathrm{m} = M_\mathrm{r}·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}}.\]

  V tabulkách najdeme relativní atomovou hmotnost uhlíku a kyslíku a určíme relativní molekulovou hmotnost CO₂:

  \[M_\mathrm{r}(CO_2) = A_\mathrm{r}(C) + 2 A_\mathrm{r}(O) = 12{,}011 + 2·15{,}999 = 44{,}009 \]

  Molární hmotnost CO₂ pak bude:

  \[M_\mathrm{m}(CO_2) = M_\mathrm{r}(CO_2)·10^{−3} \mathrm{kg mol^{−1}} = 44{,}009·10^{−3} \mathrm{kg mol^{−1}}.\]

• Výpočet

  Zvolme si například N₀ = 1,5·10²⁰ a dosaďme do vztahu (5):

  \[t = \frac{mN_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}N_\mathrm{0}} \dot{=}\, \frac{1{,}1·6{,}023·10^{23}}{44{,}009·10^{−3}·1{,}5·10^{20}} \mathrm{s}\] \[t \dot{=}\, 100 363 \mathrm{s} \approx{28 \mathrm{hod}}\]

• Odpověď

  Jestliže z uzavřené nádoby unikne za sekundu průměrně 1,5·10²⁰ molekul, vyprázdní se nádoba přibližně za 28 hodin.

• Doba vyprázdnění nádoby pro různá N₀

  \[N_0/s\]	\[10^{3}\]	\[10^{6}\]	\[10^{10}\]	\[10^{15}\]	\[10^{20}\]	\[10^{25}\]
  \[t/s\]	\[1{,}5·10^{22}\]	\[1{,}5·10^{19}\]	\[1{,}5·10^{15}\]	\[1{,}5·10^{10}\]	\[1{,}5·10^{5}\]	\[1{,}5·10^{0}\]
  \[t_{výp}\]	\[\approx{5·10^{14} \mathrm{roků}}\]	\[\approx{5·10^{11} \mathrm{roků}}\]	\[\approx{5·10^{7} \mathrm{roků}}\]	\[\approx{476 \mathrm{roků}}\]	\[\approx{42 \mathrm{hodin}}\]	\[\approx{1{,}5 \mathrm{sekund}}\]

   

  Poznámka: Stáří Země je asi 10¹⁰ roků.