Změna entalpie dusíku
Úloha číslo: 434
Původní objem dusíku o hmotnosti 2 g a počáteční teplotě 27 °C byl při stálém tlaku zmenšen o čtvrtinu. Určete změnu entalpie plynu.
Zápis
m = 2 g = 0,002 kg hmotnost dusíku t1 = 27 °C => T1 = 300,15 K počáteční teplota dusíku V2 = 3/4 V1 konečný objem dusíku ΔH = ? změna entalpie dusíku Z tabulek:
cp = 1042 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita dusíku Nápověda 1 – Entalpie H
Entalpie H plynu je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[H=U+pV,\]kde U je vnitřní energie, p tlak a V objem plynu.
Jednotkou entalpie je joule.
Nápověda 2 – elementární změna entalpie dH
Vyjádření elementární změny entalpie dH dostanete diferenciací definičního vztahu pro entalpii, tedy
\[\text{d}H = \text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p.\]Hodnoty některých veličin z tohoto vztahu však neznáme. Rozmyslete si, jak vzorec upravit, aby na pravé straně nevystupovala neznámá elementární změna vnitřní energie.
Nápověda 3 – elementární změna entropie dS
Elementární změna entropie dS je definována vztahem
\[\text{d}S=\frac{\text{d}Q}{T},\]kde Q je množství tepla dodaného plynu a T teplota plynu.
Nápověda 4 – vyjádření dodaného tepla
Pro vyjádření dodaného tepla použijte vztah mezi teplem Q a měrnou tepelnou kapacitou cp za stálého tlaku
\[Q=nc_p\left(T_2-T_1\right),\]kde n je látkové množství, T2 a T1 jsou koncová a počáteční teplota plynu.
Nápověda 5 – změna teploty
Pro vyjádření změny teploty použijte tzv. Gay-Lussacův zákon.
Rozbor
Vyjdeme z definičního vztahu pro entalpii, který zdiferencujeme. Získáme tak elementární změnu entalpie. Abychom ji mohli vyjádřit pouze pomocí zadaných veličin, využijeme matematické vyjádření 2. termodynamické věty. Navíc si uvědomíme, že změna tlaku je při izobarickém ději nulová.
Napíšeme-li si elementární změnu entropie jako podíl elementární změny tepla a teploty, zjistíme, že je celková změna entalpie rovna množství tepla dodaného plynu. To si vyjádříme jako součin měrné tepelné kapacity za stálého tlaku, hmotnosti a změny teploty plynu.
Při určování změny teploty plynu vyjdeme z tzv. Gay-Lusssacova zákona.
Řešení
Entalpie H plynu je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[H=U+pV,\]kde U je vnitřní energie, p tlak a V objem plynu.
Diferenciací definičního vztahu získáváme vyjádření elementární změny entalpie dH:
\[\text{d}H=\text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p.\]Užijeme-li matematickou formulaci 2. termodynamické věty ve tvaru
\[\text{d}U=T\,\text{d}S-p\,\text{d}V,\]můžeme psát
\[\text{d}H=\text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p = T\,\text{d}S+V\,\text{d}p.\]Vzhledem k tomu, že tlak se během děje podle zadání úlohy nemění, bude jeho elementární změna rovna nule, tj. dp = 0, a dostaneme
\[\text{d}H=T\,\text{d}S.\]S využitím definičního vztahu pro elementární změnu entropie
\[\text{d}S=\frac{\text{d}Q}{T}\]můžeme psát
\[\text{d}H=T\,\text{d}S= T\frac{\text{d}Q}{T}= \text{d}Q.\]Po integraci předchozího vztahu dostáváme pro celkovou změnu entalpie vztah
\[\Delta H=Q,\]tj. změna entalpie při izobarickém ději odpovídá množství tepla dodaného plynu.
Pro změnu entalpie při izobarické kompresi tedy platí
\[\Delta H=Q=c_pm\left(T_2-T_1\right),\]kde cp je měrná tepelná kapacita plynu, m hmotnost plynu, T1 a T2 teplota plynu před a po kompresi.
Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu V přímo úměrný jeho termodynamické teplotě T. Jestliže se tedy objem plynu zmenšil o čtvrtinu, snížila se o čtvrtinu i jeho teplota.
Po dosazení za T2 = 3T1/4 dostáváme
\[\Delta H= c_pm\left(\frac{3}{4}T_1-T_1\right)= -\frac{1}{4}c_pmT_1.\]Znaménko mínus vyjadřuje, že teplo nebylo plynu dodáno, ale odebráno (což odpovídá izobarické kompresi), a tedy entalpie při tomto ději poklesla.
Číselné dosazení
\[\Delta H= -\frac{1}{4}c_pmT_1=-\frac{1}{4}\cdot 1042\cdot{ 0{,}002}\cdot{ 300{,}15}\,\mathrm{J}\dot{=} -160\,\mathrm{J}\]Odpověď
Entalpie plynu při izobarické kompresi poklesla přibližně o 160 J.
