Důlní výtah

Úloha číslo: 369

Důlní výtah visí na ocelovém laně o průměru 2,5 cm. Celková hmotnost kabiny a přepravovaných lidí je 650 kg. Jaké bude prodloužení lana,

a) jestliže je výtah na povrchu 12 m pod motorem výtahu?
b) jestliže je u dna šachty hluboké 350 m?
Vlastní hmotnost lana vzhledem k hmotnosti kabiny zanedbejte.

  • Obrázek výtahu v důlní šachtě

    schematický obrázek
  • Zápis

    d = 2,5 cm = 0,025 m  průměr lana
    m = 650 kghmotnost kabiny a lidí
    h1 = 12 mvzdálenost povrchu od motoru výtahu
    h2 = 350 mhloubka šachty
    Δl1 = ?prodloužení lana v případě a)
    Δl2 = ?prodloužení lana v případě b)

    Další potřebné hodnoty:

    g = 9,81 ms−2tíhové zrychlení
    E = 210 GPa = 2,1×1011 Pa  modul pružnosti oceli v tahu
    σE = 400 MPa = 4×108 Pamez pružnosti oceli
  • Rozbor

    Jestliže na lano působí kabina svoji tíhou, lano napíná a to se bude pod vlivem této síly prodlužovat. Pokud tato síla nebude příliš velká, tak prodloužení bude úměrné působící síle, a pokud síla přestane působit, tak se lano vrátí na svoji původní délku. Aby toto platilo, nesmí normálové napětí (podíl mezi velikostí působící síly a obsahem průřezu materiálu) překročit mez pružnosti. Jedná se o tzv. pružnou deformaci, která je popsána Hookovým zákonem. V něm vystupuje modul pružnosti daného materiálu, což je konstanta úměrnosti mezi relativním prodloužením a normálovým napětím, které v materiálu vytváří působící síla.

  • Řešení

    Na lano působí kabina svojí tíhou, která je stejně velká jako tíhová síla působící na kabinu \(F_G=mg\). Tato síla vytváří v lanu normálové napětí σ:

    \[\sigma = \frac {F_G}{S} = \frac{ mg}{ \pi \frac {d^2}{4}} = \frac{4mg}{\pi d^2} = \frac{4\cdot{650} \cdot{9{,}81}}{\pi \cdot{0{,}025^2}} \,\mathrm {Pa}\, \dot=\, 13\cdot{10^6} \,\mathrm {Pa} = 13 \,\mathrm {MPa}\]

    Vidíme, že působící normálové napětí je menší než mez pružnosti oceli \(\sigma_E=400\,\mathrm{MPa}\), a proto pro výpočet prodloužení lana můžeme použít Hookův zákon:

    \[\sigma = E \varepsilon ,\]

    kde E je modul pružnosti oceli v tahu a ε je relativní prodloužení lana, pro které platí:

    \[ \varepsilon = \frac {\Delta l}{l}.\]

    Dosadíme za normálové napětí σ a relativní prodloužení ε do Hookova zákona a vyjádříme prodloužení lana Δl:

    \[ \frac {4mg}{\pi d^2}=E \frac {\Delta l}{l} \Rightarrow \Delta l = \frac {4mgl}{\pi d^2 E}.\]

    Dosadíme zadané hodnoty. Přičemž za délku lana l dosadíme v případě, že je výtah na povrchu, vzdálenost motoru od povrchu h1 a dostaneme:

    \[ \Delta l = \frac {4mgl}{\pi d^2 E}= \frac{4 \cdot {650} \cdot{9{,}81} \cdot{12}}{\pi \cdot{0{,}025^2} \cdot 2{,}1 \cdot{10^{11}}} \,\mathrm m \,\dot=\, 7{,}4\cdot{10^{-4}} \,\mathrm m = 0{,}74 \,\mathrm {mm}.\]

    V případě výtahu u dna šachty je délka lana l rovna součtu hloubky šachty h2 a výšky motoru nad povrchem h1, takže:

    \[ \Delta l = \frac {4mg(h_1 + h_2)}{\pi d^2 E}= \frac{4 \cdot{650} \cdot{9{,}81} \cdot{(12+350)}}{\pi \cdot{0{,}025^2} \cdot{2{,}1} \cdot{10^{11}}} \,\mathrm m \,\dot=\, 0{,}022 \,\mathrm m =2{,}2 \,\mathrm {cm}.\]
  • Odpověď

    Jestliže je výtah na povrchu, tak se lano prodlouží asi o 0,74 mm. Pokud výtah sjede ke dnu šachty, je prodloužení lana rovno přibližně 2,2 cm.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze