Protažení drátu při protékání proudu

Úloha číslo: 496

Ocelovým drátem o délce 3,00 m za pokojové teploty 25 °C procházel elektrický proud. Drát se proudem rozžhavil a protáhl se o 38,5 mm. Na jakou teplotu se ohřál? Koeficient teplotní roztažnosti oceli je 1,65·10−5 °C−1.

  • Nápověda

    Koeficient teplotní délkové roztažnosti udává, o kolik se prodlouží drát délky 1 m, když se zvýší teplota o 1 °C. Pomocí této znalosti zkuste vymyslet vzoreček pro délkovou roztažnost.

    Pokud se vám odvození nepodaří, zkuste příslušný vzorec najít, např. v tabulkách.

  • Rozbor

    Při protékání proudu se drát zahřál a díky tomu se protáhl. Protažení látek je charakterizováno teplotním koeficientem délkové roztažnosti α, který udává, o kolik se prodlouží drát délky 1 m při zvýšení teploty o 1 stupeň. Z toho již snadno odvodíme vzoreček pro výpočet prodloužení:

    Δl = l0 α (t1 − t0).

    V tomto příkladě jen musíme z daného vzorečku vyjádřit teplotu t1.

  • Zápis

    t0 = 25 °C pokojová teplota, tedy počáteční teplota drátu
    l0 = 3,00 m počáteční délka drátu
    Δl = 0,0385 m protažení drátu
    α = 1,65·10−1 K−1 koeficient teplotní roztažnosti oceli
    t1 = ? teplota drátu při protékání proudu
  • Řešení

    Pro prodloužení drátu při zahřátí z pokojové teploty na teplotu t1 platí klasický vzorec

    \[\mathrm{\Delta}l=l_0\alpha\left(t_1-t_0\right),\]

    z něhož již snadno spočteme výslednou teplotu t1

    \[t_1-t_0=\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0\alpha},\] \[t_1=t_0+\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0\alpha}.\]

    Číselné dosazení:

    \[t_1=t_0+\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0\alpha}=\left(25+\frac{0{,}0385}{3\cdot{1{,}65}\cdot{10^{-5}}}\right)\,\mathrm{^{\circ}C}\dot=803\,\mathrm{^{\circ}C}\]
  • Odpověď

    Drát se rozžhavil na teplotu 803 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze