Neznámý plyn
Úloha číslo: 421
Střední kinetická energie jednoatomového plynu o látkovém množství 1 mol je 2,5 kJ. Zvýší-li se teplota o 300 K, bude nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu 642 ms−1. Stanovte, o jaký plyn se jedná a jaká byla jeho původní teplota.
Nápověda – výpočet počáteční teploty
K výpočtu počáteční teploty T1 neznámého plynu použijte vztah pro střední kinetickou energii \(\bar{E}_k\).
Nápověda – určení plynu
Abyste mohli určit, o jaký plyn se jedná, musíte zjistit jeho molární hmotnost Mm. K tomu lze použít vztah pro nejpravděpodobnější rychlost vp molekul plynu.
Zápis
\(\bar{E}_k=2{,}5\,\mathrm{kJ}=2500\,\mathrm{J}\) střední kinetická energie jednoatomového plynu n = 1 mol látkové množství jednoatomového plynu ΔT = 300 K změna teploty vp = 642 ms−1 nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu T1 = ? původní teplota
Z tabulek:
R = 8,31 Jmol−1K−1 molární plynová konstanta Rozbor
Původní teplotu plynu určíme ze vztahu pro střední kinetickou energii plynu, podle kterého je tato energie přímo úměrná termodynamické teplotě.
Abychom zjistili o jaký plyn se jedná, vypočítáme ze vztahu pro nejpravděpodobnější rychlost molekul jeho molární hmotnost. Tu potom porovnáme s hodnotami v tabulkách.
Řešení
Střední kinetická energie \(\bar{E}_k\) libovolného plynu souvisí s termodynamickou teplotou T vztahem
\[\bar{E}_k=\frac{3}{2}nRT,\]kde n je látkové množství plynu a R molární plynová konstanta.
Díky tomu můžeme ze zadaných hodnot rovnou spočítat počáteční teplotu T1 zatím neznámého plynu. Bude platit:
\[T_{1}=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}.\]Nejpravděpodobnější rychlost vp molekul ideálního plynu je dána vztahem
\[v_p=\sqrt{\frac{2RT_{2}}{M_m}},\]kde Mm je molární hmotnost neznámého plynu a T2 jeho teplota po ohřátí.
Odtud můžeme rovnou vyjádřit molární hmotnost neznámého plynu
\[M_{m}=\frac{2RT_{2}}{v^{2}_{p}}.\]Dosadíme-li za teplotu T2 výraz
\[T_2=T_1+\mathrm{\Delta}T,\]kde ΔT je změna teploty, dostaneme
\[M_m=\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}.\]Číselné dosazení
\[T_{1}=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}=\frac{2\cdot{2500}}{3\cdot{1}\cdot{8{,}31}}\,\mathrm{K}\dot{=}200\,\mathrm{K}\]
\[M_m=\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}=\frac{2\cdot{8{,}31}\cdot(200+300)}{642^{2}}\,\mathrm{kg\,mol}^{-1}\] \[M_m\dot{=}0{,}02\,\mathrm{kgmol}^{-1}=20\,\mathrm{g\,mol}^{-1}\]Pro zajímavost zkusme ještě vyjádřit nejpravděpodobnější rychlost při původní teplotě:
\[v_{p}^, = \sqrt{\frac{2RT_1}{M_m}} = \sqrt{\frac{2RT_1}{\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}}} = v_{p}\,\sqrt{\frac{T_1}{T_{1}+\Delta T}}\] \[v_{p}^, = 642\cdot\sqrt{\frac{200}{200+300}}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \dot{=} 406\,\mathrm{m\,s^{-1}}\]Odpověď
Molární hmotnost neznámého plynu je asi 20 g mol−1, jedná se tedy o neon. Jeho počáteční teplota byla přibližně 200 K.
