Neznámý plyn

Úloha číslo: 421

Střední kinetická energie jednoatomového plynu o látkovém množství 1 mol je 2,5 kJ. Zvýší-li se teplota o  300 K, bude nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu 642 ms−1. Stanovte, o jaký plyn se jedná a jaká byla jeho původní teplota.

  • Nápověda – výpočet počáteční teploty

    K výpočtu počáteční teploty T1 neznámého plynu použijte vztah pro střední kinetickou energii \(\bar{E}_k\).

  • Nápověda – určení plynu

    Abyste mohli určit, o jaký plyn se jedná, musíte zjistit jeho molární hmotnost Mm. K tomu lze použít vztah pro nejpravděpodobnější rychlost vp molekul plynu.

  • Zápis

    \(\bar{E}_k=2{,}5\,\mathrm{kJ}=2500\,\mathrm{J}\) střední kinetická energie jednoatomového plynu
    n = 1 mol látkové množství jednoatomového plynu
    ΔT = 300 K změna teploty
    vp = 642 ms−1 nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu
    T1 = ? původní teplota

    Z tabulek:

    R = 8,31 Jmol−1K−1 molární plynová konstanta
  • Rozbor

    Původní teplotu plynu určíme ze vztahu pro střední kinetickou energii plynu, podle kterého je tato energie přímo úměrná termodynamické teplotě.

    Abychom zjistili o jaký plyn se jedná, vypočítáme ze vztahu pro nejpravděpodobnější rychlost molekul jeho molární hmotnost. Tu potom porovnáme s hodnotami v tabulkách.

  • Řešení

    Střední kinetická energie \(\bar{E}_k\) libovolného plynu souvisí s termodynamickou teplotou T vztahem

    \[\bar{E}_k=\frac{3}{2}nRT,\]

    kde n je látkové množství plynu a R molární plynová konstanta.

    Díky tomu můžeme ze zadaných hodnot rovnou spočítat počáteční teplotu T1 zatím neznámého plynu. Bude platit:

    \[T_{1}=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}.\]

    Nejpravděpodobnější rychlost vp molekul ideálního plynu je dána vztahem

    \[v_p=\sqrt{\frac{2RT_{2}}{M_m}},\]

    kde Mm je molární hmotnost neznámého plynu a T2 jeho teplota po ohřátí.

    Odtud můžeme rovnou vyjádřit molární hmotnost neznámého plynu

    \[M_{m}=\frac{2RT_{2}}{v^{2}_{p}}.\]

    Dosadíme-li za teplotu T2 výraz

    \[T_2=T_1+\mathrm{\Delta}T,\]

    kde ΔT je změna teploty, dostaneme

    \[M_m=\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[T_{1}=\frac{2\bar{E}_k}{3nR}=\frac{2\cdot{2500}}{3\cdot{1}\cdot{8{,}31}}\,\mathrm{K}\dot{=}200\,\mathrm{K}\]

     

    \[M_m=\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}=\frac{2\cdot{8{,}31}\cdot(200+300)}{642^{2}}\,\mathrm{kg\,mol}^{-1}\] \[M_m\dot{=}0{,}02\,\mathrm{kgmol}^{-1}=20\,\mathrm{g\,mol}^{-1}\]

     

    Pro zajímavost zkusme ještě vyjádřit nejpravděpodobnější rychlost při původní teplotě:

    \[v_{p}^, = \sqrt{\frac{2RT_1}{M_m}} = \sqrt{\frac{2RT_1}{\frac{2R(T_{1}+\Delta T)}{v^{2}_{p}}}} = v_{p}\,\sqrt{\frac{T_1}{T_{1}+\Delta T}}\] \[v_{p}^, = 642\cdot\sqrt{\frac{200}{200+300}}\,\mathrm{m\,s^{-1}} \dot{=} 406\,\mathrm{m\,s^{-1}}\]
  • Odpověď

    Molární hmotnost neznámého plynu je asi 20 g mol−1, jedná se tedy o neon. Jeho počáteční teplota byla přibližně 200 K.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze