Stlačení vzduchu

Úloha číslo: 403

Kolik tepla musíme odebrat, chceme-li stlačit 5 l vzduchu normálního tlaku 101 325 Pa na objem 1 l a udržet přitom konstantní teplotu?

Pozn.: Vzduch považujte za ideální plyn.

  • Nápověda 1

    Uvědomte si, že při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, a tudíž bude odebrané teplo rovno absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu.

  • Nápověda 2

    Rozmyslete si, jak spočítat vykonanou práci, pokud je tlak funkcí objemu.

  • Nápověda 3

    K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

  • Rozbor

    Protože při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, dostaneme z 1. termodynamického zákona, že odebrané teplo se rovná absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu. Pro výpočet práce musíme použít integrál, protože tlak je funkcí objemu.

    Tlak vzduchu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a konečný objem vzduchu.

  • Zápis

    V1 = 5 l = 5·10−3 m3 počáteční objem vzduchu
    p1 = 101 325 Pa počáteční tlak vzduchu
    V2 = 1 l = 10−3 m3 konečný objem vzduchu
    Q = ? odebrané teplo
  • Řešení

    Při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, což v souladu s 1. termodynamickým zákonem znamená, že odebrané teplo bude rovno absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu. K jejímu výpočtu použijeme vzhledem k nekonstantnosti tlaku p vztah

    \[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V,\]

    kde V1 je počáteční a V2 konečný objem vzduchu.

    Nyní musíme tlak p vyjádřit jako funkci objemu V. K tomu využijeme Boyle–Mariottův zákon

    \[p_1V_1=pV.\]

    Odtud ihned vyjádříme tlak p:

    \[p=\frac{p_1V_1}{V}.\]

    Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:

    \[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V = \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\,\text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[= p_1V_1\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,\text{d}V =\]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[=p_1V_1[\ln\,{V}]_{V_1}^{V_2} = p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}.\]

    Pro odebrané teplo potom platí vztah

    \[Q=\left|p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}\right|.\]
  • Číselné dosazení

    \[Q=\left|p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}\right|=\left|101\,325\cdot{5}\cdot{10^{-3}}\cdot \ln{\left(\frac{10^{-3}}{5\cdot{10^{-3}}}\right)}\right| \,\mathrm{J}\dot{=}815\,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Je třeba odebrat teplo o velikosti přibližně 815 J.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze