Stlačení vzduchu
Úloha číslo: 403
Kolik tepla musíme odebrat, chceme-li stlačit 5 l vzduchu normálního tlaku 101 325 Pa na objem 1 l a udržet přitom konstantní teplotu?
Pozn.: Vzduch považujte za ideální plyn.
Nápověda 1
Uvědomte si, že při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, a tudíž bude odebrané teplo rovno absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu.
Nápověda 2
Rozmyslete si, jak spočítat vykonanou práci, pokud je tlak funkcí objemu.
Nápověda 3
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.
Rozbor
Protože při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, dostaneme z 1. termodynamického zákona, že odebrané teplo se rovná absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu. Pro výpočet práce musíme použít integrál, protože tlak je funkcí objemu.
Tlak vzduchu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a konečný objem vzduchu.
Zápis
V1 = 5 l = 5·10−3 m3 počáteční objem vzduchu p1 = 101 325 Pa počáteční tlak vzduchu V2 = 1 l = 10−3 m3 konečný objem vzduchu Q = ? odebrané teplo Řešení
Při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, což v souladu s 1. termodynamickým zákonem znamená, že odebrané teplo bude rovno absolutní hodnotě práce vykonané při stlačování vzduchu. K jejímu výpočtu použijeme vzhledem k nekonstantnosti tlaku p vztah
\[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V,\]kde V1 je počáteční a V2 konečný objem vzduchu.
Nyní musíme tlak p vyjádřit jako funkci objemu V. K tomu využijeme Boyle–Mariottův zákon
\[p_1V_1=pV.\]Odtud ihned vyjádříme tlak p:
\[p=\frac{p_1V_1}{V}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:
\[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V = \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\,\text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[= p_1V_1\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,\text{d}V =\]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1[\ln\,{V}]_{V_1}^{V_2} = p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}.\]Pro odebrané teplo potom platí vztah
\[Q=\left|p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}\right|.\]Číselné dosazení
\[Q=\left|p_1V_1\,\ln\,{\frac{V_2}{V_1}}\right|=\left|101\,325\cdot{5}\cdot{10^{-3}}\cdot \ln{\left(\frac{10^{-3}}{5\cdot{10^{-3}}}\right)}\right| \,\mathrm{J}\dot{=}815\,\mathrm{J}\]Odpověď
Je třeba odebrat teplo o velikosti přibližně 815 J.
