Tlak, objem a teplota stlačeného plynu
Úloha číslo: 408
Ideální plyn zaujímá při tlaku 0,1 MPa a teplotě 293 K objem 830 l. Na jeho stlačení vynaložíme práci 166,8 kJ. Určete výsledné hodnoty tlaku, objemu a teploty po stlačení. Poissonova konstanta pro příslušný děj probíhající za tepelné izolace je κ = 1,25.
Zápis
p1 = 0,1 MPa = 105 Pa počáteční tlak plynu T1 = 293 K počáteční teplota plynu V1 = 830 l = 0,83 m3 počáteční objem plynu W = 166,8 kJ = 166,8·103 J práce vynaložená na stlačení plynu κ = 1,25 Poissonova konstanta p2 = ? tlak plynu po stlačení V2 = ? objem plynu po stlačení T2 = ? teplota plynu po stlačení Nápověda 1
V zadání je uvedeno, že děj probíhá za tepelné izolace. Co to znamená?
Nápověda 2 – určení objemu V2
Koncový objem V2 plynu můžeme určit ze vztahu pro vynaloženou práci.
Rozmyslete si, jak tento vztah vypadá, není-li tlak plynu konstantní (je funkcí objemu).
Nápověda 3 – konečný tlak p2
K výpočtu konečného tlaku p2 plynu použijte také již zmíněný Poissonův zákon.
Nápověda 4 – konečná teplota T2
K výpočtu konečné teploty T2 plynu použijte stavovou rovnici ideálního plynu.
Rozbor
Při výpočtu koncového objemu plynu vyjdeme ze vztahu pro vynaloženou práci. Použijeme zde integrální tvar vzahu pro práci, protože tlak je funkcí objemu. Z Poissonova zákona vyjádříme tlak plynu a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Ze získaného vzorce již rovnou vyjádříme koncový objem.
Poissonův zákon ještě použijeme k určení konečného tlaku plynu.
Konečnou teplotu plynu vypočítáme ze stavové rovnice ideálního plynu.
Řešení
Protože tlak p plynu v průběhu jeho stlačení není konstantní, platí pro vynaloženou práci vztah
\[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V,\]kde V1 a V2 jsou počáteční a koncový objem plynu.
K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V využijeme Poissonův zákon platící pro adiabatické děje:
\[p_1V_{1}^{\kappa} = pV^{\kappa}, \]kde κ je Poissonova konstanta. Odtud ihned můžeme vyjádřit tlak p
\[p = \frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci
\[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V = -\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[= -p_1V_1^{\kappa} \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]zintegrujeme a dosadíme meze
\[= -p_1V_1^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_1}^{V_2}= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{\kappa-1 }\left(V_2^{-\kappa+1} - V_1^{-\kappa+1}\right).\]Pro práci vynaloženou na stlačení plynu tedy platí:
\[W= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{\kappa-1}\left(V_2^{1-\kappa} - V_1^{1-\kappa}\right) = \frac{p_1V_1}{\kappa-1}\left[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa} - 1\right] .\]Z tohoto vztahu již můžeme vyjádřit konečný objem plynu V2:
\[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa}= \frac{(\kappa-1)W} {p_1V_1}+1,\]a tedy
\[V_2=V_1 \sqrt[1-\kappa]{\frac{(\kappa-1)W}{p_1V_1}+1}.\]Z Poissonova zákona
\[p_1V_1^{\kappa}=p_2V_2^{\kappa} \]již snadno zjistíme i výsledný tlak plynu p2:
\[p_2=\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V_2^{\kappa}}.\]Nakonec si napíšeme stavovou rovnici ideálního plynu ve tvaru
\[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2},\]z níž rovnou vyjádříme výslednou teplotu T2 plynu po jeho stlačení:
\[T_2=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1}.\]Číselné dosazení
\[V_2=V_1\sqrt[1-\kappa]{\frac{(\kappa-1)W}{p_1V_1}+1}\] \[V_2=0{,}83\cdot\sqrt[1-1{,}25]{\frac{(1{,}25-1)\cdot166{,}8\cdot{10^3}}{10^5\cdot{0{,}83}}+1}\,\mathrm{m^3}\dot{=}0{,}163\,\mathrm{m^3}\] \[p_2=\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V_2^{\kappa}}=\frac{10^5\cdot{0{,}83^{1{,}25}}}{0{,}163^{1{,}25}}\,\mathrm{Pa}\dot{=}765000\,\mathrm{Pa}=765\,\mathrm{kPa}\] \[T_2=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1}=\frac{765000\cdot{ 0{,}163}\cdot{293}}{10^5\cdot{ 0{,}83}}\,\mathrm{K}\dot{=}440\,\mathrm{K}\]Odpověď
Výsledné hodnoty tlaku, objemu a teploty po stlačení jsou přibližně 765 kPa, 0,163 m3 a 440 K.
