Tlak, objem a teplota stlačeného plynu

Úloha číslo: 408

Ideální plyn zaujímá při tlaku 0,1 MPa a teplotě 293 K objem 830 l. Na jeho stlačení vynaložíme práci 166,8 kJ. Určete výsledné hodnoty tlaku, objemu a teploty po stlačení. Poissonova konstanta pro příslušný děj probíhající za tepelné izolace je κ = 1,25.

  • Zápis

    p1 = 0,1 MPa = 105 Pa počáteční tlak plynu
    T1 = 293 K počáteční teplota plynu
    V1 = 830 l = 0,83 m3 počáteční objem plynu
    W = 166,8 kJ = 166,8·103 J práce vynaložená na stlačení plynu
    κ = 1,25 Poissonova konstanta
    p2 = ? tlak plynu po stlačení
    V2 = ? objem plynu po stlačení
    T2 = ? teplota plynu po stlačení
  • Nápověda 1

    V zadání je uvedeno, že děj probíhá za tepelné izolace. Co to znamená?

  • Nápověda 2 – určení objemu V2

    Koncový objem V2 plynu můžeme určit ze vztahu pro vynaloženou práci.

    Rozmyslete si, jak tento vztah vypadá, není-li tlak plynu konstantní (je funkcí objemu).

  • Nápověda 3 – konečný tlak p2

    K výpočtu konečného tlaku p2 plynu použijte také již zmíněný Poissonův zákon.

  • Nápověda 4 – konečná teplota T2

    K výpočtu konečné teploty T2 plynu použijte stavovou rovnici ideálního plynu.

  • Rozbor

    Při výpočtu koncového objemu plynu vyjdeme ze vztahu pro vynaloženou práci. Použijeme zde integrální tvar vzahu pro práci, protože tlak je funkcí objemu. Z Poissonova zákona vyjádříme tlak plynu a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Ze získaného vzorce již rovnou vyjádříme koncový objem.

    Poissonův zákon ještě použijeme k určení konečného tlaku plynu.

    Konečnou teplotu plynu vypočítáme ze stavové rovnice ideálního plynu.

  • Řešení

    Protože tlak p plynu v průběhu jeho stlačení není konstantní, platí pro vynaloženou práci vztah

    \[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V,\]

    kde V1V2 jsou počáteční a koncový objem plynu.

    K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V využijeme Poissonův zákon platící pro adiabatické děje:

    \[p_1V_{1}^{\kappa} = pV^{\kappa}, \]

    kde κ je Poissonova konstanta. Odtud ihned můžeme vyjádřit tlak p

    \[p = \frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]

    Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci

    \[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V = -\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[= -p_1V_1^{\kappa} \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[= -p_1V_1^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_1}^{V_2}= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{\kappa-1 }\left(V_2^{-\kappa+1} - V_1^{-\kappa+1}\right).\]

    Pro práci vynaloženou na stlačení plynu tedy platí:

    \[W= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{\kappa-1}\left(V_2^{1-\kappa} - V_1^{1-\kappa}\right) = \frac{p_1V_1}{\kappa-1}\left[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa} - 1\right] .\]

     

    Z tohoto vztahu již můžeme vyjádřit konečný objem plynu V2:

    \[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa}= \frac{(\kappa-1)W} {p_1V_1}+1,\]

    a tedy

    \[V_2=V_1 \sqrt[1-\kappa]{\frac{(\kappa-1)W}{p_1V_1}+1}.\]

    Z Poissonova zákona

    \[p_1V_1^{\kappa}=p_2V_2^{\kappa} \]

    již snadno zjistíme i výsledný tlak plynu p2:

    \[p_2=\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V_2^{\kappa}}.\]

    Nakonec si napíšeme stavovou rovnici ideálního plynu ve tvaru

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2},\]

    z níž rovnou vyjádříme výslednou teplotu T2 plynu po jeho stlačení:

    \[T_2=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1}.\]
  • Číselné dosazení

    \[V_2=V_1\sqrt[1-\kappa]{\frac{(\kappa-1)W}{p_1V_1}+1}\] \[V_2=0{,}83\cdot\sqrt[1-1{,}25]{\frac{(1{,}25-1)\cdot166{,}8\cdot{10^3}}{10^5\cdot{0{,}83}}+1}\,\mathrm{m^3}\dot{=}0{,}163\,\mathrm{m^3}\] \[p_2=\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V_2^{\kappa}}=\frac{10^5\cdot{0{,}83^{1{,}25}}}{0{,}163^{1{,}25}}\,\mathrm{Pa}\dot{=}765000\,\mathrm{Pa}=765\,\mathrm{kPa}\] \[T_2=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1}=\frac{765000\cdot{ 0{,}163}\cdot{293}}{10^5\cdot{ 0{,}83}}\,\mathrm{K}\dot{=}440\,\mathrm{K}\]
  • Odpověď

    Výsledné hodnoty tlaku, objemu a teploty po stlačení jsou přibližně 765 kPa, 0,163 m3 a 440 K.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze