Zvýšení teploty po izobaricky vykonané práci

Úloha číslo: 335

Kyslík O2 o hmotnosti 4,0 kg má teplotu 0 °C. Jak se změní jeho teplota, jestliže při izobarické expanzi vykoná práci 10,4 kJ?

Ztráty energie do okolí zanedbejte a kyslík považujte za ideální plyn.

  • Nápověda

    Při izobarickém ději (kdy je tlak konstantní) platí, že práce W, kterou plyn vykoná se rovná součinu tlaku p a změny objemu ΔV, tj.

    W = pΔV = p(V2V1).

    Součin tlaku a objemu na začátku i na konci děje lze vyjádřit ze stavové rovnice.

  • Zápis

    m = 4,0 kg hmotnost kyslíku O2
    t1 = 0 °C ⇒ T1 = 273 K počáteční teplota plynu
    W = 10,4 kJ = 1,04·104 J vykonaná práce
    p = konst.
    Δt = ? změna teploty plynu během děje

    Z tabulek:

    Ar(O) = 16 relativní atomová hmotnost kyslíku O
    R = 8,31 J·K−1·mol−1 molární plynová konstanta
  • Rozbor

    Z počáteční teploty a hmotnosti plynu můžeme určit součin objemu a tlaku plynu na počátku děje. Vykonaná práce odpovídá zvýšení tohoto součinu, takže můžeme určit součin tlaku a objemu plynu na konci děje a ze stavové rovnice určit jeho teplotu na konci děje.

  • Řešení

    Práci, kterou plyn vykonal za stálého tlaku, vyjádříme pomocí tlaku p, počátečního objemu V1 a koncového objemu V2:

    \[ W\,=\,p\left(V_2\,-\,V_1\right)\,=\,pV_2\,-\,pV_1. \]

    Součiny tlaku a objemu vyjádříme ze stavové rovnice pro ideální plyn.

    Na počátku děje platí: \[pV_1\,=\,nRT_1.\]
    Na konci děje platí: \[pV_2\,=\,nRT_2.\]

    Dosadíme do rovnice pro práci a vyjádříme hledaný teplotní rozdíl:

    \[ W\,=\,nRT_2\,-\,nRT_1\,=\,nR\left(T_2\,-\,T_1\right) \] \[ \Delta T\,=\,T_2\,-\,T_1\,=\,\frac{W}{nR}. \]

    Látkové množství plynu určíme pomocí hmotnosti plynu m a molární hmotnosti Mm:

    \[ n\,=\,\frac{m}{M_m}. \]

    Pro molární hmotnost platí Mm = Ar·10-3 kg mol-1. Dosazením získáme výsledný vztah pro teplotní rozdíl ΔT:

    \[ \Delta T\,=\,\frac{W}{\frac{m}{M_m}R}\,=\,\frac{WM_m}{mR}. \]

    Dosadíme zadané hodnoty:

    \[ \Delta T\,=\,\frac{1{,}04\cdot{10^4}\cdot{2}\cdot 16\cdot{10^{-3}}}{4{,}0\cdot{8{,}31}}\,\mathrm{K}\,\dot{=}\,10\,\mathrm{K}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t\,=\,10\,{}^{\circ}\mathrm{C}. \]
  • Odpověď

    Při izobarické expanzi zvýšil kyslík svoji teplotu asi o 10 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze