Zvýšení teploty po izobaricky vykonané práci
Úloha číslo: 335
Kyslík O2 o hmotnosti 4,0 kg má teplotu 0 °C. Jak se změní jeho teplota, jestliže při izobarické expanzi vykoná práci 10,4 kJ?
Ztráty energie do okolí zanedbejte a kyslík považujte za ideální plyn.
Nápověda
Při izobarickém ději (kdy je tlak konstantní) platí, že práce W, kterou plyn vykoná, se rovná součinu tlaku p a změny objemu ΔV, tj.
W = pΔV = p(V2−V1).
Součin tlaku a objemu na začátku i na konci děje lze vyjádřit ze stavové rovnice.
Zápis
m = 4,0 kg hmotnost kyslíku O2 t1 = 0 °C ⇒ T1 = 273 K počáteční teplota plynu W = 10,4 kJ = 1,04·104 J vykonaná práce p = konst. Δt = ? změna teploty plynu během děje Z tabulek:
Ar(O) = 16 relativní atomová hmotnost kyslíku O R = 8,31 J·K−1·mol−1 molární plynová konstanta Rozbor
Z počáteční teploty a hmotnosti plynu můžeme určit součin objemu a tlaku plynu na počátku děje. Vykonaná práce odpovídá zvýšení tohoto součinu, takže můžeme určit součin tlaku a objemu plynu na konci děje a ze stavové rovnice určit jeho teplotu na konci děje.
Řešení
Práci, kterou plyn vykonal za stálého tlaku, vyjádříme pomocí tlaku p, počátečního objemu V1 a koncového objemu V2:
\[ W\,=\,p\left(V_2\,-\,V_1\right)\,=\,pV_2\,-\,pV_1. \]Součiny tlaku a objemu vyjádříme ze stavové rovnice pro ideální plyn.
Na počátku děje platí: \[pV_1\,=\,nRT_1.\] Na konci děje platí: \[pV_2\,=\,nRT_2.\] Dosadíme do rovnice pro práci a vyjádříme hledaný teplotní rozdíl:
\[ W\,=\,nRT_2\,-\,nRT_1\,=\,nR\left(T_2\,-\,T_1\right), \] \[ \Delta T\,=\,T_2\,-\,T_1\,=\,\frac{W}{nR}. \]Látkové množství plynu určíme pomocí hmotnosti plynu m a molární hmotnosti Mm:
\[ n\,=\,\frac{m}{M_\mathrm{m}}. \]Pro molární hmotnost platí Mm = Ar·10-3 kg mol-1. Dosazením získáme výsledný vztah pro teplotní rozdíl ΔT:
\[ \Delta T\,=\,\frac{W}{\frac{m}{M_\mathrm{m}}R}\,=\,\frac{WM_\mathrm{m}}{mR}. \]Dosadíme zadané hodnoty:
\[ \Delta T\,=\,\frac{1{,}04\cdot{10^4}\cdot{2}\cdot 16\cdot{10^{-3}}}{4{,}0\cdot{8{,}31}}\,\mathrm{K}\,\dot{=}\,10\,\mathrm{K}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t\,=\,10\,{}^{\circ}\mathrm{C}. \]Odpověď
Při izobarické expanzi zvýšil kyslík svoji teplotu asi o 10 °C.
