Sbírka řešených úloh

Tepelné ztráty přes okenní tabuli

Úloha číslo: 502

• Nápověda

  Rozmyslete si, na jakých veličinách bude záviset, kolik tepla projde skleněnou tabulí, a jestli teplo na nich bude záviset přímo nebo nepřímo úměrně. Konstantou úměrnosti je tzv. součinitel tepelné vodivosti.

• Rovnice vedení tepla

  Rovnice pro vedení tepla zní:

  \[Q=\lambda\frac{S\mathrm{\Delta}t}{d}\tau\]

  kde Q je prošlé teplo, λ je součinitel tepelné vodivostí (charakterizující materiál), který pro sklo vyhledáme v tabulkách, S je obsah plochy a d tloušťka materiálu, přes který teplo prochází, Δt je teplotní rozdíl mezi oběma konci materiálu a τ je čas.

  Rovnice předpokládá, že teplotní rozdíl obou konců je konstantní.

• Rozbor

  Teplo, které projde skleněnou tabulí za jednotku času je přímo úměrné rozdílu teplot a ploše skleněné tabule, přes kterou prochází a nepřímo úměrné tlouštce skla. Konstantou úměrnosti je součinotel tepelné vodivosti.

• Zápis

  d = 4 mm = 4·10−3m	tloušťka skleněné tabule
  S = 2 m2	obsah skleněné tabule
  t1 = −10 °C	venkovní teplota
  t2 = 20 °C	teplota uvnitř místnosti
  τ = 3600 s	doba, po kterou počítáme, kolik tepla tabule propustí
  Q = ?	teplo, které tabule propustí za jednu hodinu

  Z tabulek:

  λ = 1,0 W m−1K−1

  součinitel tepelné vodivosti skla

• Řešení

  Teplo, které projde skleněnou deskou, je přímo úměrné obsahu desky S, rozdílu teplot Δt a času τ a nepřímo úměrné tloušťce desky d. Konstantou úměrnosti je součinitel tepelné vodivosti materiálu λ. Proto můžeme psát

  \[Q=\frac{\lambda S\tau\mathrm{\Delta}t}{d}=\frac{\lambda S\tau\left(t_2-t_1\right)}{d}\,\mathrm{.}\]

  Číselné dosazení:

  \[Q=\frac{\lambda S\tau\left(t_2-t_1\right)}{d}=\frac{1{,}0\cdot{2}\cdot{3600}\left(20+10\right)}{4\cdot{10^{-3}}}\,\mathrm{J}\dot=\] \[\dot=54\cdot{10^6}\,\mathrm{J}=54\,\mathrm{MJ}\]

• Odpověď

  Skleněná tabule propustí za jednu hodinu teplo asi 54 MJ.

• Pro zajímavost

  Kdybychom měli okna vyrobená ze skla s vlastnostmi uváděnými v této úloze, byly by tepelné ztráty strašně veliké. Tepelné ztráty oken jsou v dnešní době snižovány různými způsoby. Např. tak, že sklo zdvojíme. Vrstva vzduchu mezi oběma okenními tabulemi má mnohem menší součinitel tepelné vodivosti než samotné sklo, proto se přes ní ztratí mnohem méně tepla. Mezera mezi tabulemi skla se dá také vyplnit nějakým jiným plynem, než je vzduch, např. argonem, xenonem nebo kryptonem, které mají ještě menší součinitel tepelné vodivosti.

  Další technologií, která se používá, je pokovení tenoučkou vrstvičkou nebo lepení folií, které odrážejí teplo zpátky do místnosti.

  Vlastnosti okenních tabulí výrobci charakterizují koeficientem U₀, který udává, kolik tepla projde za jednotku času přes okno o ploše 1 m² při rozdílu teplot 1 °C. Jeho jednotkou je tedy Wm⁻²K⁻¹. Koeficient U₀ dostaneme tak, že součinitel tepelné vodivosti λ vydělíme tloušťkou skleněné tabulky d.

  Pro sko z tohoto příkladu dostáváme hodnotu koeficientu U₀:

  U₀ = 250 W m⁻²K⁻¹.

  Výrobci okenních tabulí udávají, že hodnota U₀ u některých typů oken je menší než 1,15 W m⁻²K⁻¹, což je značný rozdíl oproti hodnotě pro samotné sklo z naší úlohy.