Debyeův zákon pro kuchyňskou sůl

Úloha číslo: 347

Za velmi nízkých teplot se molární tepelná kapacita chloridu sodného mění s teplotou podle tzv. Debyeova zákona

\[C = k\frac{T^{3}}{\Theta^{3}},\]

kde hodnota konstanty k = 1948,8 J mol−1 K−1 a Debeyova teplota pro chlorid sodný je Θ = 281 K.

Spočtěte:

a) tepelnou kapacitu C1 při teplotě 10 K a tepelnou kapacitu C2 při teplotě 50 K,

b) jaké teplo Q je zapotřebí k ohřátí 2 molů NaCl z teploty 10 K na teplotu 50 K,

c) průměrnou molární tepelnou kapacitu Cpr v teplotním intervalu 10 K až 50 K.

  • Nápověda b)

    V této úloze není tepelná kapacita konstantní. Uvědomte si, jak určit teplo ΔQ potřebné na malé zvýšení teploty o ΔT a v čem se bude lišit výpočet celkového potřebného tepla od případu, kde je tepelná kapacita konstantní.

  • Nápověda c)

    Průměrná tepelná molární kapacita odpovídá tomu, kolik tepla bylo nutné dodat „průměrně“ pro ohřátí 1 molu látky o jeden kelvin.

  • Rozbor

    a) Pokud chceme znát tepelnou kapacitu pro jednu konkrétní teplotu, stačí dosadit do Debyeova zákona.

    b) Protože se tepelná kapacita s teplotou mění, vyjádříme si nejdříve přírůstek tepla při nekonečně malé změně teploty. Pro získání celkového potřebného tepla musíme získaný vztah zintegrovat přes celý zadaný interval teplot.

    c) Pro získání průměrné molární tepelné kapacity celkové dodané teplo, které jsme spočítali v předchozím kroku, vydělíme počtem molů látky a rozdílem teplot před a po ohřátí. Tím vlastně určíme, kolik tepla jsme museli průměrně dodat na ohřátí jednoho molu o jeden kelvin, tj. právě průměrnou molární kapacitu.

  • Zápis

    n = 2 počet molů NaCl
    T1 = 10 K počáteční teplota
    T2 = 50 K konečná teplota
    C1 = ? tepelná kapacita při teplotě 10 K
    C2 = ? tepelná kapacita při teplotě 50 K
    Q = ? teplo potřebné k ohřátí NaCl z 10 K na 50 K
    Cpr = ? průměrná molární tepelná kapacita
  • Řešení

    a) Skutečnou tepelnou kapacitu při dané teplotě určíme přímým dosazením do Debyeova zákona:

    \[C_{1} = \frac{kT_{1}^{3}}{\Theta^{3}},\] \[C_{2} = \frac{kT_{2}^{3}}{\Theta^{3}}\]

    b) Vzhledem k tomu, že v uvedeném intervalu je tepelná kapacita funkcí teploty, musíme při výpočtu použít integraci. Teplo dQ potřebné k ohřátí látky o nekonečně malé dT je dáno vztahem

    \[\mathrm{d}Q = nC\mathrm{d}T = \frac{nkT^{3}}{\Theta^{3}}\mathrm{d}T.\]

    Celkové teplo nutné k zahřátí z počáteční na koncovou teplotu spočteme pomocí určitého integrálu, jehož mezemi jsou právě počáteční a koncová teplota.

    \[Q = \int \mathrm{d}Q = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{nkT^{3}}{\Theta^{3}}\mathrm{d}T = \frac{nk}{\Theta^{3}}\int_{T_{1}}^{T_{2}}T^{3}\mathrm{d}T = \frac{nk}{\Theta^{3}}\left[\frac{T^{4}}{T}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}\] \[Q = \frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)\]

    c) Při řešení tohoto úkolu si stačí uvědomit, že průměrná molární tepelná kapacita je dána podílem tepla využitého k ohřátí jednoho molu látky a rozdílu teplot před a po ohřátí. Všechny potřebné údaje jsme již spočetli v části b).

    Můžeme tedy psát:

    \[C_{pr} = \frac{Q}{n \mathrm{\Delta} T} = \frac{Q}{n\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{\frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{n\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{k}{4\Theta^{3}}\frac{\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{\left(T_{2}-T_{1}\right)}\]

    Z výsledného vztahu pro průměrnou molární tepelnou kapacitu vidíme, že by bylo chybné ji počítat pouze jako průměr hodnot tepelných kapacit při počáteční a koncové teplotě.

  • Číselné dosazení

    a)

    \[C_{1} = \frac{kT_{1}^{3}}{\Theta^{3}} = \frac{1948{,}8 \cdot{10^{3}}}{281^{3}}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{1} \dot= 0{,}09\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{2} = \frac{kT_{2}^{3}}{\Theta^{3}} = \frac{1948{,}8 \cdot{50^{3}}}{281^{3}}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{2} \dot= 10{,}98\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\]

    b)

    \[Q = \frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right) = \frac{2 \cdot{1948{,}8}}{4 \cdot{281^{3}}}\cdot\left(50^{4}-10^{4}\right)\, \mathrm{J}\] \[Q \dot= 274\, \mathrm{J}\]

    c)

    \[C_{pr} = \frac{k}{4\Theta^{3}}\frac{\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{1948{,}8}{4\cdot{ 281^{3}}}\cdot \frac{\left(50^{4}-10^{4}\right)}{\left(50-10\right)}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{pr} \dot= 3{,}43\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\]
  • Odpověď

    a) Tepelná kapacita při teplotě 10 K je 0,09 J mol−1 K−1 a při 50 K je 10,98 J mol−1 K−1.

    b) Na zvýšení teploty z 10 K na 50 K je potřeba dodat teplo asi 274 J.

    c) V uvedeném teplotním intervalu je průměrná molární tepelná kapacita 3,43 J mol−1 K−1.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze