Sbírka řešených úloh

Debyeův zákon pro kuchyňskou sůl

Úloha číslo: 347

• Nápověda b)

  V této úloze není tepelná kapacita konstantní. Uvědomte si, jak určit teplo ΔQ potřebné na malé zvýšení teploty o ΔT a v čem se bude lišit výpočet celkového potřebného tepla od případu, kde je tepelná kapacita konstantní.

• Řešení nápovědy b)

  Pro teplo ΔQ potřebné na zvýšení teploty o ΔT platí

  \[\mathrm{\Delta} Q = nC\mathrm{\Delta} T .\]

  Pokud je tepelná kapacita konstantní, je teplo ΔQ nezávislé na konkrétní hodnotě teploty a je úměrné teplotnímu rozdílu. V našem případě tomu tak není, proto bude nutné „sečíst“ tato tepla pomocí integrace, tj.

  \[Q = \int_{T_1}^{T_2} n C \mathrm{d}T.\]

• Nápověda c)

  Průměrná tepelná molární kapacita odpovídá tomu, kolik tepla bylo nutné dodat „průměrně“ pro ohřátí 1 molu látky o jeden kelvin.

• Rozbor

  a) Pokud chceme znát tepelnou kapacitu pro jednu konkrétní teplotu, stačí dosadit do Debyeova zákona.

  b) Protože se tepelná kapacita s teplotou mění, vyjádříme si nejdříve přírůstek tepla při nekonečně malé změně teploty. Pro získání celkového potřebného tepla musíme získaný vztah zintegrovat přes celý zadaný interval teplot.

  c) Pro získání průměrné molární tepelné kapacity vydělíme celkové dodané teplo, které jsme spočítali v předchozím kroku, počtem molů látky a rozdílem teplot před a po ohřátí. Tím vlastně určíme, kolik tepla jsme museli průměrně dodat na ohřátí jednoho molu o jeden kelvin, tj. právě průměrnou molární kapacitu.

• Zápis

  n = 2	počet molů NaCl
  T1 = 10 K	počáteční teplota
  T2 = 50 K	konečná teplota
  C1 = ?	tepelná kapacita při teplotě 10 K
  C2 = ?	tepelná kapacita při teplotě 50 K
  Q = ?	teplo potřebné k ohřátí NaCl z 10 K na 50 K
  Cpr = ?	průměrná molární tepelná kapacita

• Řešení

  a) Skutečnou tepelnou kapacitu při dané teplotě určíme přímým dosazením do Debyeova zákona:

  \[C_{1} = \frac{kT_{1}^{3}}{\Theta^{3}},\] \[C_{2} = \frac{kT_{2}^{3}}{\Theta^{3}}.\]

  b) Vzhledem k tomu, že v uvedeném intervalu je tepelná kapacita funkcí teploty, musíme při výpočtu použít integraci. Teplo dQ potřebné k ohřátí látky o nekonečně malé dT je dáno vztahem:

  \[\mathrm{d}Q = nC\mathrm{d}T = \frac{nkT^{3}}{\Theta^{3}}\mathrm{d}T.\]

  Celkové teplo nutné k zahřátí z počáteční na koncovou teplotu spočteme pomocí určitého integrálu, jehož mezemi jsou právě počáteční a koncová teplota:

  \[Q = \int \mathrm{d}Q = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{nkT^{3}}{\Theta^{3}}\mathrm{d}T = \frac{nk}{\Theta^{3}}\int_{T_{1}}^{T_{2}}T^{3}\mathrm{d}T = \frac{nk}{\Theta^{3}}\left[\frac{T^{4}}{T}\right]_{T_{1}}^{T_{2}},\] \[Q = \frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right).\]

  c) Při řešení tohoto úkolu si stačí uvědomit, že průměrná molární tepelná kapacita je dána podílem tepla využitého k ohřátí jednoho molu látky a rozdílu teplot před a po ohřátí. Všechny potřebné údaje jsme již spočetli v části b).

  Můžeme tedy psát:

  \[C_\mathrm{pr} = \frac{Q}{n \mathrm{\Delta} T} = \frac{Q}{n\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{\frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{n\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{k}{4\Theta^{3}}\frac{\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{\left(T_{2}-T_{1}\right)}.\]

  Z výsledného vztahu pro průměrnou molární tepelnou kapacitu vidíme, že by ji bylo chybné počítat pouze jako průměr hodnot tepelných kapacit při počáteční a koncové teplotě.

• Číselné dosazení

  a)

  \[C_{1} = \frac{kT_{1}^{3}}{\Theta^{3}} = \frac{1948{,}8 \cdot{10^{3}}}{281^{3}}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{1} \dot= 0{,}09\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{2} = \frac{kT_{2}^{3}}{\Theta^{3}} = \frac{1948{,}8 \cdot{50^{3}}}{281^{3}}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_{2} \dot= 10{,}98\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\]

  b)

  \[Q = \frac{nk}{4\Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right) = \frac{2 \cdot{1948{,}8}}{4 \cdot{281^{3}}}\cdot\left(50^{4}-10^{4}\right)\, \mathrm{J}\] \[Q \dot= 274\, \mathrm{J}\]

  c)

  \[C_\mathrm{pr} = \frac{k}{4\Theta^{3}}\frac{\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} = \frac{1948{,}8}{4\cdot{ 281^{3}}}\cdot \frac{\left(50^{4}-10^{4}\right)}{\left(50-10\right)}\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\] \[C_\mathrm{pr} \dot= 3{,}43\,\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}\]

• Odpověď

  a) Tepelná kapacita při teplotě 10 K je 0,09 J mol⁻¹ K⁻¹ a při 50 K je 10,98 J mol⁻¹ K⁻¹.

  b) Na zvýšení teploty z 10 K na 50 K je potřeba dodat teplo asi 274 J.

  c) V uvedeném teplotním intervalu je průměrná molární tepelná kapacita 3,43 J mol⁻¹ K⁻¹.