Sbírka řešených úloh

Tepelná kapacita kalorimetru

Úloha číslo: 363

• Nápověda

  Uvědomte si, co se kromě studené vody ohřeje od teplé vody.

  Rozmyslete si, jaký je rozdíl mezi tepelnou kapacitou a měrnou tepelnou kapacitou.

• Rozbor

  Protože má nově přilitá voda vyšší teplotu než původní voda v kalorimetru, bude předávat teplo. Teplo bude přijímat studená voda, ale také samotný kalorimetr.

  Tepelnou kapacitu kalorimetru pak získáme z rovnosti odevzdaného a dodaného tepla.

• Zápis

  m1 = 420 g = 0,42 kg	hmotnost vody na začátku
  T1 = 293 K	počáteční teplota vody
  m2 = 900 g = 0,9 kg	hmotnost nově přilité vody
  T2 = 343 K	teplota přilité vody
  Tv = 323 K	teplota při ustáleném stavu
  C = ?	tepelná kapacita kalorimetru

  Z tabulek:

  cv = 4180 J kg−1 K−1

  měrná tepelná kapacita vody

• Řešení

  Jedná se o snadnou úlohu na aplikaci kalorimetrické rovnice. Teplo Q_od bude odevzdávat původně teplejší voda a jeho velikost je dána vzorcem

  \[Q_{od} = m_{2}c_{v}\left( T_{2} - T_{v}\right) ,\]

  kde m₂ je hmotnost přilité vody, T₂ je její teplota, c_v je měrná tepelná kapacita vody a T_v je teplota rovnovážného stavu.

  Přijímat teplo bude jednak původně studenější voda

  \[Q_{d1} = m_{1}c_{v}\left( T_{v} - T_{1}\right) ,\]

  kde T₁ je teplota původní vody v kalorimetru, a jednak kalorimetr. Jeho původní teplota je stejná jako teplota studenější vody (tj. 293 K), protože soustava byla na počátku v termodynamické rovnováze. Teplo přijaté kalorimetrem je tedy

  \[Q_{d2} = C\left( T_{v} - T_{1}\right)\]

  (pozor, nevystupuje zde neznámá hmotnost nádoby, protože C označuje tepelnou kapacitu, a nikoliv měrnou tepelnou kapacitu! Tyto pojmy je potřeba od sebe odlišit).

  Z rovnosti odevzdaného a dodaného tepla pak dostáváme:

  \[Q_{od} = Q_{d1}+Q_{d2}\] \[m_{2}c_{v}\left( T_{2} - T_{v}\right) = m_{1}c_{v}\left( T_{v} - T_{1}\right)+C\left( T_{v} - T_{1}\right)\] \[C = \frac{m_{2}c_{v}\left( T_{2} - T_{v}\right) - m_{1}c_{v}\left( T_{v} - T_{1}\right)}{T_{v}-T_{1}}\]

• Číselné dosazení

  \[C = \frac{m_{2}c_{v}\left( T_{2} - T_{v}\right) - m_{1}c_{v}\left( T_{v} - T_{1}\right)}{T_{v}-T_{1}} =\] \[= \frac{0{,}9\cdot{4180}\cdot \left( 343 - 323\right) - 0{,}42\cdot{4180}\cdot \left( 323 - 293\right)}{323-293}\, \mathrm{J\, K^{-1}}\] \[C \dot= 752\, \mathrm{J\, K^{-1}}\]

• Odpověď

  Tepelná kapacita kalorimetru je přibližně 752 J K⁻¹.