Sbírka řešených úloh

Reciproká mříž ke kubickým centrovaným mřížím

Úloha číslo: 2278

• Rozbor

  Pokud známe translační vektory přímé mříže $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$, můžeme translační vektory reciproké mříže $\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{b_2}, \overrightarrow{b_3}$ spočítat z následujících vztahů:

  $$\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),$$ $$\overrightarrow{b_2}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1}),$$ $$\overrightarrow{b_3}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2}),$$ kde $V$ je objem buňky dané translačními vektory $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$: $$V=\overrightarrow{a_1} \cdot (\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}).$$ Je tedy třeba si vhodně zvolit translační vektory kubické prostorově centrované mříže, spočítat translační vektory reciproké mříže podle výše uvedených vztahů a identifikovat tyto vektory s translačními vektory kubické plošně centrované mříže.

• Nápověda: Translační vektory

  Je třeba si vhodně zvolit translační vektory pro oba dva typy mřížek.

• Řešení: Translační vektory pro kubickou prostorově centrovanou mříž

  Zvolme si kartézský souřadnicový systém se středem v levém dolním atomu konvenční buňky kubické prostorově centrované mříže. Pokud má konvenční buňka kubické prostorově centrované mříže mřížový parametr $a$, můžeme si v této soustavě souřadnic translační vektory vyjádřit následujícím způsobem:

  $$\overrightarrow{a_1} = \frac{a}{2} (-1{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{a_2} = \frac{a}{2} (1,-1{,}1),$$ $$\overrightarrow{a_3} = \frac{a}{2} (1{,}1,-1).$$

  Vektory jsou zobrazeny v následujícím obrázku:

  

• Řešení: Translační vektory pro kubickou plošně centrovanou mříž

  Translační vektory kubické plošně centrované mříže můžeme psát ve tvaru (viz obrázek):

  

  $$\overrightarrow{a_1}=\frac{a}{2} (0{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{a_2}=\frac{a}{2} (1{,}0,1),$$ $$\overrightarrow{a_3}=\frac{a}{2} (1{,}1,0).$$

• Řešení: Reciproká mříž ke kubické prostorově centrované mříži

  Jak je podrobněji rozebráno výše, pokud má konvenční buňka kubické prostorově centrované mříže mřížový parametr $a$, můžeme si translační vektory vyjádřit následujícím způsobem:

  $$\overrightarrow{a_1} = \frac{a}{2} (-1{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{a_2} = \frac{a}{2} (1,-1{,}1),$$ $$\overrightarrow{a_3} = \frac{a}{2} (1{,}1,-1).$$

  Vyjádříme si objem buňky dané těmito translačními vektory:

  $$V=\overrightarrow{a_1} \cdot (\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3})= \frac{a}{2} (-1{,}1,1) \cdot \frac{a^2}{2}(0, 2, 2)=0+\frac{a^3}{4}+\frac{a^3}{4}=\frac{a^3}{2}.$$

  Translační vektory reciproké mříže poté vypočteme ze známých vztahů:

  $$\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3})= \frac{a^2}{2} (0{,}1,1) \cdot \frac{4\pi}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (0{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{b_2}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1})= \frac{a^2}{2} (1{,}0,1) \cdot \frac{4\pi}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (1{,}0,1),$$ $$\overrightarrow{b_3}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2})= \frac{a^2}{2} (1{,}1,0) \cdot \frac{4\pi}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (1{,}1,0).$$ Tyto vektory jsou translačními vektory kubické plošně centrované mříže s mřížovým parametrem $4\pi/a$.

• Řešení: Reciproká mříž ke kubické plošně centrované mříži

  Jak jsme viděli v předchozím bodě, translační vektory kubické plošně centrované mříže můžeme psát ve tvaru

  $$\overrightarrow{a_1}=\frac{a}{2} (0{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{a_2}=\frac{a}{2} (1{,}0,1),$$ $$\overrightarrow{a_3}=\frac{a}{2} (1{,}1,0).$$

  Opět si vyjádříme napřed objem buňky dané těmito translačními vektory:

  $$V=\overrightarrow{a_1} \cdot (\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3})= \frac{a}{2} (0{,}1,1) \cdot ( \frac{a}{2} (1{,}0,1) \times \frac{a}{2} (1{,}1,0) )= \frac{a}{2} (0{,}1,1) \cdot \frac{a^2}{4}(-1, 1, 1)=\frac{a^3}{8}(0+1+1)=\frac{a^3}{4}.$$

  Translační vektory reciproké mříže poté vypočteme ze známých vztahů:

  $$\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3})= 2\pi\cdot \frac{a^2}{4} (-1{,}1,1) \cdot \frac{4}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (-1{,}1,1),$$ $$\overrightarrow{b_2}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1})= 2\pi\cdot \frac{a^2}{4} (1,-1{,}1) \cdot \frac{4}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (1,-1{,}1),$$ $$\overrightarrow{b_3}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2})= 2\pi\cdot \frac{a^2}{4} (1{,}1,-1) \cdot \frac{4}{a^3}=\frac{2\pi}{a} (1{,}1,-1).$$ Tyto vektory jsou translačními vektory kubické prostorově centrované mříže s mřížovým parametrem $4\pi/a$.

• Odpověď

  Reciprokou mříží ke kubické prostorově centrované mříži o mřížovém parametru $a$ je kubická plošně centrovaná mříž o mřížovém parametru $4\pi/a$.

  Reciprokou mříží ke kubické plošně centrované mříži o mřížovém parametru $a$ je kubická prostorově centrovaná mříž o mřížovém parametru $4\pi/a$.

• Poznámka ke značení a definici vektorů reciproké mříže

  V této sbírce značíme vektory přímé mříže jako $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$ a vektory reciproké mříže $\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{b_2}, \overrightarrow{b_3}$. Lze se setkat i s jinými konvencemi, například vektory přímé mříže mohou být značeny $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ a vektory reciproké mříže se mohou označovat $\overrightarrow{a^*}, \overrightarrow{b^*}, \overrightarrow{c^*}$.

  Rovněž definujeme vektory reciproké mříže těmito vztahy:

  $$\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),$$ $$\overrightarrow{b_2}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1}),$$ $$\overrightarrow{b_3}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2}).$$

  Jindy se používá odlišná konvence, kdy se vektory reciproké mříže definují takto:

  $$\overrightarrow{b_1}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),$$ $$\overrightarrow{b_2}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1}),$$ $$\overrightarrow{b_3}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2}).$$