Sbírka řešených úloh

Unikání plynu z nádoby

Úloha číslo: 497

• Nápověda 1

  Pozor na to, že vodík tvoří dvouatomové molekuly.

• Nápověda 2

  Pomocí stavové rovnice vypočítejte hmotnosti plynu při obou teplotách a potom je porovnejte.

• Rozbor

  Pomocí stavové rovnice pro ideální plyn si můžeme vypočítat hmotnost plynu při obou teplotách. Jen musíme dát pozor na to, že vodík tvoří dvouatomové molekuly, proto za molární hmotnost musíme dosadit dvojnásobek molární hmotnosti atomárního vodíku.

  Z rozdílu hmotností při obou teplotách pak už snadno zjistíme, kolik plynu z nádoby uniklo.

• Zápis

  V = 10 l = 10−2 m3	objem nádoby
  t1 = 7 °C ... T1 = 280,15 K	počáteční teplota plynu
  p = 4,9 MPa = 4,9·106 Pa	tlak plynu
  t2 = 17 °C ... T2 = 290,15 K	konečná teplota plynu
  Δm = ?	hmotnost plynu, který unikl

  Z tabulek:

  R = 8,31 J K−1mol−1	molární plynová konstanta
  Mm = 2 g mol−1	molární hmotnost vodíku (vodík tvoří dvouatomové molekuly)

• Řešení

  K výpočtu použijeme stavovou rovnici ideální plynu

  \[pV = nRT,\]

  kde p je tlak, V objem, T termodynamická teplota a n látkové množství daného plynu a R je univerzální plynová konstanta.

  Do stavové rovnice dosadíme za látkové množství n vztah

  \[n=\frac{m}{M_m}\,,\]

  kde m je hmotnost plynu a M_m je molární hmotnost plynu. Musíme si však ještě uvědomit, že vodík tvoří dvouatomové molekuly, tudíž za molární hmotnost musíme dosazovat dvojnásobek molární hmotnosti atomárního vodíku.

  Nyní můžeme snadno vypočítat hmotnosti plynu při obou teplotách.

  \[pV=\frac{m_1}{M_{\mathrm{m}}}RT_1\qquad\Rightarrow\qquad m_1=\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{RT_1}\] \[pV=\frac{m_2}{M_{\mathrm{m}}}RT_2\qquad\Rightarrow\qquad m_2=\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{RT_2}\]

  Rozdíl uvedených hmotností pak již udává, kolik plynu uniklo

  \[\mathrm{\Delta}m=m_1-m_2=\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{RT_1}-\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{RT_2}=\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)\]

  Číselné dosazení:

  \[\mathrm{\Delta}m=\frac{pVM_{\mathrm{m}}}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)=\] \[=\frac{4{,}9\cdot{10^{6}}\cdot{10^{-2}}\cdot{2}}{8{,}31}\left(\frac{1}{280{,}15}-\frac{1}{290{,}15}\right)\,\mathrm{g}\dot=1{,}5\,\mathrm{g}\]

• Odpověď

  Z nádoby uniklo přibližně 1,5 g plynu.