Voda na koupání dítěte
Úloha číslo: 389
Ke koupání dítěte si chceme připravit 80 litrů vody o teplotě 36 °C. Studená voda z vodovodu má teplotu 10 °C a teplá 50 °C. Kolik které vody potřebujeme? Tepelné ztráty neuvažujte.
Nápověda
Úlohu budeme řešit pomocí kalorimetrické rovnice, která říká, že teplo odevzdané teplejším tělesem se rovná teplu, které přijme studenější těleso (zákon zachování energie). Tím získáme jednu rovnici pro dvě neznámé hmotnosti teplé a studené vody.
A druhou rovnici dostaneme z toho, že součet obou hmotností musí být roven celkovému požadovanému množství vody.
Zápis
V = 80 l celkové množství vody, které chceme připravit t = 36 °C výsledná teplota připravované vody ts = 10 °C teplota studené vody th = 50 °C teplota horké vody Vs = ? hledaný objem studené vody Vh = ? hledaný objem horké vody Rozbor
Pro řešení je důležitá kalorimetrická rovnice: teplo přijaté chladnějším tělesem od teplejšího se rovná teplu odevzdanému teplejším tělesem studenějšímu. Z této rovnice můžeme určit vztah pro poměr množství teplé a studené vody. Dále známe celkové požadované množství (jejich součet). Tím dostáváme dvě rovnice pro oba neznámé objemy horké a studené vody, ze kterých je určíme.
Řešení
Kalorimetrická rovnice:
\[Q_{\mathrm{odevzdane}} = Q_{\mathrm{prijate}}\]
\[c_v m_h (t_h - t)= c_v m_s (t-t_s)\]
\[c_v V_h \varrho (t_h - t)= c_v V_s \varrho(t-t_s)\]
Pro hledané objemy jsme tedy dostali rovnici:
\[V_h (t_h - t) = V_s (t-t_s)\]
a dále víme:
\[V_h + V_s = V\,.\]
To jsou dvě rovnice pro dvě neznámé, ty můžeme řešit buď obecně, nebo dosadit zadané číselné hodnoty a tuto soustavu vyřešit již s nimi.
Po dosazení zadaných hodnot dostáváme tuto soustavu rovnic (hodnotu Vh a Vs v litrech označme x a y):
\[14x = 26 y,\]
\[x+y = 80.\]
Z první rovnice vyjádříme x:
\[x = \frac {26}{14} y,\]
dosadíme do druhé rovnice a vypočteme:
\[ \frac {26}{14} y + y = 80\]
\[ \frac {40}{14} y = 80\ \Rightarrow\ y= \frac{14}{40}\cdot 80 = 28.\]
Pomocí známého y dopočítáme x:
\[ x = 80 -28 = 52\]
a doplníme jednotku ke hledaným objemům:
\[ V_h = 52\,\mathrm l,\]
\[ V_s = 28\,\mathrm l.\]
Obecné řešení
Obecné řešení odvodíme ze soustavy dvou rovnic pro neznámé Vh a Vs, které jsme odvodili v předchozím oddíle:
\[V_h (t_h - t) = V_s (t- t_s)\]
\[V_h + V_s = V \]
Z první rovnice vyjádříme Vh:
\[V_h (t_h - t) = V_s (t- t_s)\ \Rightarrow\ V_h = V_s \,\frac{t-t_s}{t_h-t}\]
a dosadíme do druhé:
\[ V_s\, \frac{t-t_s}{t_h-t} + V_s = V_s ( 1 + \frac{t-t_s}{t_h-t}) = V_s\, \frac{t_h - t + t - t_s}{t_h-t}=V\]
\[V_s = V\frac{t_h-t}{t_h-t_s} \]
\[V_h = V_s \,\frac{t-t_s}{t_h-t}= V \frac{t_h-t}{t_h-t_s}\, \frac{t-t_s}{t_h-t} = V \frac{t-t_s}{t_h- t_s} \]
Do získaných vztahů dosadíme zadané hodnoty:
\[V_s = V\frac{t_h-t}{t_h-t_s}= 80 \cdot \frac{50-36}{50-10} \,\mathrm l = 28 \,\mathrm l \]
\[V_h = V \frac{t-t_s}{t_h- t_s} = 80 \cdot \frac{36-10}{50-10} \,\mathrm l =52 \,\mathrm l \]
Odpověď
Na přípravu 80 l vody o teplotě 36 °C potřebujeme 28 l studené vody o teplotě 10 °C a 52 l horké vody o teplotě 50 °C.
