Stanovení měrné tepelné kapacity hliníku
Úloha číslo: 504
Měděný kalorimetr má hmotnost 0,32 kg a je v něm voda o objemu 0,25 l a teplotě 291 K. Hliníkový váleček o hmotnosti 0,08 kg byl zahřát na teplotu 372,5 K a ponořen do kalorimetru. Výsledná teplota byla 295,5 K. Stanovte měrnou tepelnou kapacitu hliníku a srovnejte ji s tabulkovou hodnotou 896 J kg−1K−1.
Nápověda
Zamyslete se, co musí platit pro teplo odevzdané hliníkovým válečkem a tepla přijatá kalorimetrem a vodou v něm.
Rozbor
Váleček z hliníku zahřátý na určitou teplotu byl ponořen do kalorimetru s vodou. Ve vodě chladnul a ohříval ji a takéohříval kalorimetr, dokud se teploty nevyrovnaly. Během chladnutí odevzdal teplo, které se rovná součtu tepel přijatých vodou a kalorimetrem. Z této rovnosti už můžeme vyjádřit měrnou tepelnou kapacitu hliníku a porovnat ji s tabulkovou hodnotou.
Zápis
m1 = 0,32 kg hmotnost měděného kalorimetru V = 0,25 l = 2,5·10−4 m3 objem vody v kalorimetru T1 = 291 K teplota vody v kalorimetru m2 = 0,08 kg hmotnost hliníkového válečku T2 = 372,5 K počáteční teplota hliníkového válečku Tv = 295,5 K výsledná teplota po ustálení c = ? změřená měrná tepelná kapacita hliníku Z tabulek:
cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody ρv = 1000 kg m−3 hustota vody cCu = 383 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita mědi cAl = 896 J kg−1K−1 tabulková hodnota měrné tepelné kapacity hliníku Řešení
Po ponoření hliníku do studené vody dojde k tomu, že váleček odevzdá teplo Qod, voda přijme teplo Qp1 a kalorimetr, jehož počáteční teplota je stejná jako počáteční teplota vody, protože soustava byla v termodynamické rovnováze, přijme teplo Qp2. Po jisté době se opět nastolí termodynamická rovnováha charakterizovaná výslednou teplotou Tv stejnou pro všechny složky.
Pro odevzdaná, resp. dodaná tepla v souladu s definicí měrné tepelné kapacity platí:
Qod = m2 c (T2 − Tv) ,
Qp1 = ρv V cv (Tv − T1) ,
Qp2 = m1 cCu (Tv − T1) .
Při výpočtu Qp1 jsme využili skutečnost, že hmotnost vody v kalorimetru můžeme stanovit ze známého objemu V a hustoty ρ vztahem mv = ρv V.
Vzhledem k tomu, že soustava je tepelně izolována, musí být odevzdané teplo Qod rovno součtu dodaných tepel Qd1 + Qd2. Dosazením za jednotlivá tepla pak dostaneme rovnici
\[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}}\] \[m_2c\left(T_2-T_{\mathrm{v}}\right)=\rho_{\mathrm{v}}Vc_{\mathrm{v}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)+m_1c_{\mathrm{Cu}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right),\] z níž vyjádříme hledanou měrnou tepelnou kapacitu hliníku c: \[c =\frac{\rho_{\mathrm{v}}Vc_{\mathrm{v}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)+m_1c_{\mathrm{Cu}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)}{m_2\left(T_2-T_{\mathrm{v}}\right)}.\]Číselné dosazení:
\[\small c=\frac{1000\cdot{2{,}5}\cdot{10^{-4}}\cdot{4180}\cdot\left(295{,}5-291\right)+0{,}32\cdot{383}\cdot\left(295{,}5-291\right)}{0{,}08\cdot\left(372{,}5-295{,}5\right)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c\dot=853\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]Srovnání s tabulkovou hodnotou:
\[ \frac{c}{c_{\mathrm{Al}}}=\frac{853}{896}\dot=0{,}95=95\,\% \]Měrná tepelná kapacita hliníku vypočítaná v této úloze je asi o 5% menší než hodnota uvedená v tabulkách. To je možné vysvětlit skutečností, že při měření, je část tepla předána okolnímu prostředí, čímž vznikne tepelná ztráta, kterou jsme ale při výpočtu neuvažovali.
Odpověď
Změřená měrná tepelná kapacita hliníku je asi 853 J kg−1K−1, což je zhruba o 5% méně než je hodnota uvedená v tabulkách.
