Stanovení měrné tepelné kapacity hliníku

Úloha číslo: 504

Měděný kalorimetr má hmotnost 0,32 kg a je v něm voda o objemu 0,25 l a teplotě 291 K. Hliníkový váleček o hmotnosti 0,08 kg byl zahřát na teplotu 372 K a ponořen do kalorimetru. Výsledná teplota byla 295,5 K. Stanovte měrnou tepelnou kapacitu hliníku a srovnejte ji s tabulkovou hodnotou 896 J kg−1K−1.

  • Nápověda

    Zamyslete se, co musí platit pro teplo odevzdané hliníkovým válečkem a tepla přijatá kalorimetrem a vodou v něm.

  • Rozbor

    Váleček z hliníku zahřátý na určitou teplotu byl ponořen do kalorimetru s vodou. Ve vodě chladnul a ohříval ji a takéohříval kalorimetr, dokud se teploty nevyrovnaly. Během chladnutí odevzdal teplo, které se rovná součtu tepel přijatých vodou a kalorimetrem. Z této rovnosti už můžeme vyjádřit měrnou tepelnou kapacitu hliníku a porovnat ji s tabulkovou hodnotou.

  • Zápis

    m1 = 0,32 kg hmotnost měděného kalorimetru
    V = 0,25 l = 2,5·10−4 m3 objem vody v kalorimetru
    T1 = 291 K teplota vody v kalorimetru
    m2 = 0,08 kg hmotnost hliníkového válečku
    T2 = 372,5 K počáteční teplota hliníkového válečku
    Tv = 295,5 K výsledná teplota po ustálení
    c = ? změřená měrná tepelná kapacita hliníku

    Z tabulek:

    cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody
    ρv = 1000 kg m−3 hustota vody
    cCu = 383 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita mědi
    cAl = 896 J kg−1K−1 tabulková hodnota měrné tepelné kapacity hliníku
  • Řešení

    Po ponoření hliníku do studené vody dojde k tomu, že váleček odevzdá teplo Qod, voda přijme teplo Qp1 a kalorimetr, jehož počáteční teplota je stejná jako počáteční teplota vody, protože soustava byla v termodynamické rovnováze, přijme teplo Qp2. Po jisté době se opět nastolí termodynamická rovnováha charakterizovaná výslednou teplotou Tv stejnou pro všechny složky.

    Pro odevzdaná, resp. dodaná tepla v souladu s definicí měrné tepelné kapacity platí:

    Qod = m2 c (T2 − Tv) ,

    Qp1 = ρv V cv (Tv − T1) ,

    Qp2 = m1 cCu (Tv − T1) .

    Při výpočtu Qp1 jsme využili skutečnost, že hmotnost vody v kalorimetru můžeme stanovit ze známého objemu V a hustoty ρ vztahem mv = ρv V.

    Vzhledem k tomu, že soustava je tepelně izolována, musí být odevzdané teplo Qod rovno součtu dodaných tepel Qd1 + Qd2. Dosazením za jednotlivá tepla pak dostaneme rovnici

    \[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}}\] \[m_2c\left(T_2-T_{\mathrm{v}}\right)=\rho_{\mathrm{v}}Vc_{\mathrm{v}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)+m_1c_{\mathrm{Cu}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right),\] z níž vyjádříme hledanou měrnou tepelnou kapacitu hliníku c: \[c =\frac{\rho_{\mathrm{v}}Vc_{\mathrm{v}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)+m_1c_{\mathrm{Cu}}\left(T_{\mathrm{v}}-T_1\right)}{m_2\left(T_2-T_{\mathrm{v}}\right)}.\]

    Číselné dosazení:

    \[\small c=\frac{1000\cdot{2{,}5}\cdot{10^{-4}}\cdot{4180}\cdot\left(295{,}5-291\right)+0{,}32\cdot{383}\cdot\left(295{,}5-291\right)}{0{,}08\cdot\left(372{,}5-295{,}5\right)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c\dot=853\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]

     

    Srovnání s tabulkovou hodnotou:

    \[ \frac{c}{c_{\mathrm{Al}}}=\frac{853}{896}\dot=0{,}95=95\,\% \]

    Měrná tepelná kapacita hliníku vypočítaná v této úloze je asi o 5% menší než hodnota uvedená v tabulkách. To je možné vysvětlit skutečností, že při měření, je část tepla předána okolnímu prostředí, čímž vznikne tepelná ztráta, kterou jsme ale při výpočtu neuvažovali.

  • Odpověď

    Změřená měrná tepelná kapacita hliníku je asi 853 J kg−1K−1, což je zhruba o 5% méně než je hodnota uvedená v tabulkách.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na porovnávání a rozlišování
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze