Ochlazení vody na koupel
Úloha číslo: 388
Ve vaně je 220 litrů vody o teplotě 55 °C. Kolik vody o teplotě 14 °C musíme do vany přilít, aby výsledná teplota vody byla 40 °C. Řešte za předpokladu, že lze zanedbat výměnu tepla mezi vodou a okolím.
V celé úloze uvažujte hustotu vody 1000 kg/m3.
Nápověda
Úlohu budeme řešit pomocí kalorimetrické rovnice, která říká, že teplo odevzdané teplejším tělesem se rovná teplu, které přijme studenější těleso (zákon zachování energie).
Zápis
Vh = 220 l objem horké vody th = 55 °C teplota horké vody ts = 14 °C teplota studené vody tk = 40 °C požadovaná konečná teplota vody ρ = 1000 kgm−3 hustota vody Vs = ? hledaný objem studené vody Rozbor
Pro řešení této úlohy použijeme kalorimetrickou rovnici, která říká, že součet tepel, která odevzdají teplejší tělesa studenějším, se rovná součtu tepel, která přijmou chladnější tělesa od teplejších. Ze zadaných údajů můžeme přímo spočítat teplo, které musí odevzdat horká voda, aby se ochladila na požadovanou teplotu. Z tohoto tepla můžeme určit hmotnost studené vody.
Řešení
Teplo \(Q_1\), které odevzdá horká voda studené:
\[Q_1 = c_v m_h (t_h - t_k)= c_v V_h \varrho (t_h - t_k) \,.\]
Toto teplo přijme studená voda. Pro přijaté teplo \(Q_2\) platí:
\[Q_2 = c_v m_s (t_k - t_s) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s)\,.\]
Podle kalorimetrické rovnice se obě tepla rovnají.
\[Q_1 = Q_2\]
\[c_v V_h \varrho (t_h - t_k) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s)\]
Odtud určíme objem studené vody:
\[ V_h (t_h - t_k) = V_s (t_k - t_s)\]
\[ V_s = V_h \frac { t_h - t_k}{t_k - t_s}\]
A nakonec dosadíme zadané hodnoty (vzhledem k tomu, že pro výpočet jsou rozhodující rozdíly teplot, můžeme velikosti teplot dosadit jak v kelvinech, tak ve stupních Celsia). Pokud objem horké vody dosadíme v litrech, určíme objem studené vody také v litrech.
\[ V_s = 220 \cdot \frac { 55 - 40}{40 - 14}\,\mathrm l = 127 \,\mathrm l\]
Odpověď
K ochlazení vody na požadovanou teplotu je zapotřebí přilít 127 litrů studené vody.
