Carnotův motor při daném rozdílu teplot
Úloha číslo: 348
Účinnost Carnotova motoru je 22 %. Pracuje s ohřívačem a chladičem, jejichž tepelný rozdíl je 75 °C. Jaké jsou teploty chladiče a ohřívače?
Nápověda
Vyhledejte si, jak se spočítá účinnost v cyklickém ději.
V Carnotově cyklu platí, že vyměňovaná tepla jsou přímo úměrná teplotám, při kterých dochází k výměně.
Zápis
η = 22 % = 0,22 účinnost Carnotova motoru Δt = 75 °C ⇒ ΔT = 75 K rozdíl teplot mezi ohřívačem a chladičem T1 = ? termodynamická teplota ohřívače T2 = ? termodynamická teplota chladiče Rozbor
Motor pracující podle Carnotova cyklu má maximální možnou účinnost. Carnotův cyklus je složen ze dvou adiabatických a dvou izotermických dějů. Tepelná výměna probíhá pouze během izotermických dějů a vyměněné teplo je úměrné teplotě ohřívače, resp. chladiče. Díky tomu můžeme vyjádřit jeho účinnost pomocí teplot.
Řešení
Účinnost tepelného motoru můžeme vyjádřit pomocí dodaného tepla Q1 a odevzdaného tepla Q2:
\[ \eta\,=\,\frac{W}{Q_1}\,=\,\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}\,. \]V Carnotově cyklu je vyměněné teplo úměrné teplotám ohřívače a chladiče. Vztah pro účinnost můžeme tedy upravit na:
\[ \eta\,=\,\frac{T_1-T_2}{T_1}\,=\,\frac{\Delta T}{T_1}\,. \]Odtud vyjádříme teplotu ohřívače T1:
\[ T_1\,=\,\frac{\Delta T}{\eta}\,=\,\frac{75}{0{,}22}\,\mathrm{K}\,=\,341\,\mathrm{K}\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t\,=\,68\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,. \]Z určené teploty ohřívače určíme teplotu chladiče T2:
\[ \Delta T\,=\,T_1\,-\,T_2, \] \[ T_2\,=\,T_1\,-\,\Delta T\,=\,\frac{\Delta T}{\eta}\,-\,\Delta T\,=\,\Delta T\frac{1-\eta}{\eta}, \] \[ T_2\,=\,75\cdot \frac{1-0{,}22}{0{,}22}\,\mathrm{K}\,=\,266\,\mathrm{K}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t_2\,=\,-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,. \]Odpověď
Daný Carnotův motor pracuje s ohřívačem o teplotě 68 °C a chladičem o teplotě −7 °C.
