Carnotův motor při daném rozdílu teplot

Úloha číslo: 348

Účinnost Carnotova motoru je 22 %. Pracuje s ohřívačem a chladičem, jejichž tepelný rozdíl je 75 °C. Jaké jsou teploty chladiče a ohřívače?

  • Nápověda

    Vyhledejte si, jak se spočítá účinnost v cyklickém ději.

    V Carnotově cyklu platí, že vyměňovaná tepla jsou přímo úměrná teplotám, při kterých dochází k výměně.

  • Zápis

    η = 22 % = 0,22 účinnost Carnotova motoru
    Δt = 75 °C ⇒ ΔT = 75 K rozdíl teplot mezi ohřívačem a chladičem
    T1 = ? termodynamická teplota ohřívače
    T2 = ? termodynamická teplota chladiče
  • Rozbor

    Motor pracující podle Carnotova cyklu má maximální možnou účinnost. Carnotův cyklus je složen ze dvou adiabatických a dvou izotermických dějů. Tepelná výměna probíhá pouze během izotermických dějů a vyměněné teplo je úměrné teplotě ohřívače, resp. chladiče. Díky tomu můžeme vyjádřit jeho účinnost pomocí teplot.

  • Řešení

    Účinnost tepelného motoru můžeme vyjádřit pomocí dodaného tepla Q1 a odevzdaného tepla Q2:

    \[ \eta\,=\,\frac{W}{Q_1}\,=\,\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}\,. \]

    V Carnotově cyklu je vyměněné teplo úměrné teplotám ohřívače a chladiče. Vztah pro účinnost můžeme tedy upravit na:

    \[ \eta\,=\,\frac{T_1-T_2}{T_1}\,=\,\frac{\Delta T}{T_1}\,. \]

    Odtud vyjádříme teplotu ohřívače T1:

    \[ T_1\,=\,\frac{\Delta T}{\eta}\,=\,\frac{75}{0{,}22}\,\mathrm{K}\,=\,341\,\mathrm{K}\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t\,=\,68\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,. \]

    Z určené teploty ohřívače určíme teplotu chladiče T2:

    \[ \Delta T\,=\,T_1\,-\,T_2 \] \[ T_2\,=\,T_1\,-\,\Delta T\,=\,\frac{\Delta T}{\eta}\,-\,\Delta T\,=\,\Delta T\frac{1-\eta}{\eta} \] \[ T_2\,=\,75\cdot \frac{1-0{,}22}{0{,}22}\,\mathrm{K}\,=\,266\,\mathrm{K}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}t_2\,=\,-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,. \]
  • Odpověď

    Daný Carnotův motor pracuje s ohřívačem o teplotě 68 °C a chladičem o teplotě −7 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze