Sbírka řešených úloh

Prodloužení železného drátu vlastní tíhou

Úloha číslo: 2091

Určete velikost celkového prodloužení železného drátu, které způsobí vlastní tíha. Předpokládejte, že drát má konstantní průřez a je dlouhý 200 m. Uvažujte pružnou deformaci.

 

• Zápis

  S = konst	průřez drátu
  l = 200 m	délka drátu

  Z tabulek:

  ρ = 7,8·103 kgm-3	hustota železa
  E = 2·1011 Nm-2	Youngův modul pružnosti železa v tahu
  g = 9,81 ms-2	tíhové zrychlení
  Δl = ?	prodloužení drátu

• Rozbor

  Zatížení drátu se po jeho délce mění, a tedy i napětí v něm. Nejvíce je zatížena část nahoře pod místem upevnění, za kterou táhne celý zbytek drátu. Nejméně je zatížená část na dolním volném konci drátu. Představíme si, že je drát rozdělený na malé tenké kousky. Napětí v takovém malém kousku již můžeme považovat za konstantní. Prodloužení každého takového kousku určíme pomocí Hookova zákona a všechna prodloužení pak posčítáme.

• Nápověda

  Vyznačte si na drátu jeden element o tloušťce dx. Napište, jak velkou silou na něj působí část visící pod ním a vyjádřete tahové napětí v tomto kousku drátu.

  Pomocí Hookova zákona určete relativní prodloužení kousku drátu a pak i jeho absolutní prodloužení. Posčítejte pak prodloužení všech kousků po celé délce drátu.

• Řešení

  

  Na element ve vzdálenosti x od konce drátu působí tíhová síla o velikosti:

  \[G_\mathrm{x}\,=\,m_\mathrm{x}g\,=\,\rho Sxg.\tag{1}\]

  Tahové napětí získáme jako podíl tíhové síly a průřezu drátu:

  \[\sigma_\mathrm{x}\,=\,\frac{G_\mathrm{x}}{S}\,=\,\rho xg.\tag{2}\]

  Tahové napětí v jednotlivých elementech můžeme považovat za konstantní. Relativní prodloužení elementu pak určíme pomocí Hookova zákona:

   

  \[\varepsilon\,=\,\frac{\Delta \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\,=\,\frac{\sigma_\mathrm{x}}{E}.\tag{3}\]

  Dále můžeme ze (2) dosadit do (3):

  \[\frac{\Delta \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\,=\,\frac{\rho xg}{E}.\tag{4}\]

  Ze (4) určíme absolutní prodloužení jednoho elementu:

  \[\Delta \mathrm{d}x\,=\,\frac{\rho xg}{E}\mathrm{d}x.\tag{5}\]

  Celkové prodloužení drátu je pak součtem všech prodloužení jednotlivých elementů:

  \[\Delta l\,=\,\int_{0}^{l}\frac{\rho xg}{E}\mathrm{d}x\,=\,\frac{\rho gl^2}{2E}.\tag{6}\]

  Po číselném dosazení do (6) máme:

  \[\Delta l\,=\,\frac{7{,}8{\cdot}10^{3}\cdot9{,}81{\cdot}200^2}{2{\cdot}2\cdot10^{11}}\mathrm{m}\,=\,7{,}65{\cdot}10^{-3}\mathrm{m}.\]

• Odpoveď

  Velikost celkového prodloužení drátu je:

  \[\Delta l\,=\,7{,}65·10^{-3}\mathrm{m}.\]