Ideální plyn versus van der Waals
Úloha číslo: 462
V ocelové bombě o objemu 0,53 m3 je oxid uhličitý o látkovém množství 1 kmol a tlaku 5,07 MPa. Jak se liší teplota plynu spočtená podle modelu ideálního plynu od teploty spočtené podle van der Waalsovy rovnice?
Zápis
V = 0,53 m3 vnitřní objem nádoby n = 1 kmol = 103 mol látkové množství oxidu uhličitého p = 5,07 MPa = 5,07·106 Pa tlak oxidu uhličitého ΔT = ? rozdíl teplot spočítaných podle jednotlivých modelů
Z tabulek:
R = 8,31 Jmol−1K−1 molární plynová konstanta a = 0,365 Jm3mol−2 „van der Waalsova“ konstanta pro oxid uhličitý b = 4,28·10−5 m3mol−1 „van der Waalsova“ konstanta pro oxid uhličitý Rozbor
Ze stavové rovnice ideálního plynu a z van der Waalsovy rovnice vyjádříme termodynamické teploty a spočítáme jejich rozdíl.
Řešení
Ze stavové rovnice ideálního plynu
\[pV=nRT_{i},\]kde p je tlak, V objem, n látkové množství oxidu uhličitého a R molární plynová konstanta, vyjádříme termodynamickou teplotu Ti
\[T_{i}=\frac{pV}{nR}.\]Termodynamickou teplotu Tv vyjádříme také z van der Waalsovy rovnice
\[\left(p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)(V-nb)=nRT_{v},\]kde a a b jsou van der Waalsovy konstanty oxidu uhličitého, a dostaneme
\[T_{v}=\frac{\left(p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)(V-nb)}{nR}.\]Nakonec spočteme rozdíl ΔT obou získanných teplot
\[\mathrm{\Delta}T=T_{v}-T_{i}=\frac{\left(p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)(V-nb)-pV}{nR}.\]Číselné dosazení
\[\mathrm{\Delta}T=\frac{\left(p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)(V-nb)-pV}{nR}\] \[\mathrm{\Delta}T=\frac{\left(5{,}07\cdot{10^6}+\frac{10^6\cdot{0{,}365}}{0{,}53^{2}}\right)(0{,}53-10^3\cdot{4{,}28}\cdot{10^{-5}})-5{,}07\cdot{10^6}\cdot{0{,}53}}{8{,}31\cdot{10^3}}\,\mathrm{K}\] \[\mathrm{\Delta}T\dot{=}50\,\mathrm{K}\]Odpověď
Podle van der Waalsovy rovnice vyšla teplota plynu přibližně o 50 K větší než podle modelu ideálního plynu.
