Chladicí faktor chladničky
Úloha číslo: 349
Motor chladničky má výkon 200 W. Vypočítejte její ideální chladicí faktor, jestliže teplota uvnitř chlazeného prostoru je 275 K a vně 300 K. Jaké je maximální teplo, které může být odebráno z chlazeného prostoru za 10 min? Kolik vody by tato chladnička dokázala za daný čas ochladit?
Nápověda – chladicí faktor chladničky
U chladničky se snažíme o odebírání tepla z chladného prostředí QS – toto teplo tedy bude hrát podobnou roli jako „výkon“ ve vzorci pro účinnost. Do chladícího procesu „investujeme“ práci stroje W, což je obdoba „příkonu“ ve vzorci pro účinnost. Pro chladicí faktor f tedy můžeme psát:
\[ f\,=\,\frac{Q_\mathrm{S}}{W}\,=\,\frac{Q_\mathrm{S}}{Q_\mathrm{H}-Q_\mathrm{S}}\,. \]Ideální chladnička by využívala Carnotův cyklus, pro který platí, že vyměňovaná tepla jsou úměrná příslušným teplotám, takže pro chladicí faktor platí vztah:
\[ f\,=\,\frac{T_\mathrm{S}}{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{S}}\,. \]Zápis
P = 200 W výkon motoru chladničky TH = 300 K termodynamická teplota vně chlazeného prostoru TS = 275 K termodynamická teplota uvnitř chlazeného prostoru t = 10 min = 600 s čas odebírání tepla f = ? chladicí faktor Q = ? teplo odebrané z chladicího prostoru za čas t m = ? hmotnost ochlazené vody Z tabulek:
c = 4180 J kg-1 K-1 měrná tepelná kapacita vody Rozbor
Ideální chladicí faktor pro chladničku určíme, pokud budeme předpokládat, že chladnička pracuje podle Carnotova cyklu. V takovém případě jsou vyměňovaná tepla úměrná teplotám ohřívače a chladiče (viz nápověda).
Potom pomocí výkonu motoru chladničky vypočteme teplo, které můžeme maximálně odebrat z jejího vnitřku za daný čas. Ze znalosti měrné tepelné kapacity vody vypočteme množství vody, které by tato lednička dokázala za stejný čas vychladit.
Řešení
Chladicí faktor chladničky je dán poměrem tepla odebraného z chladicího prostoru QS a práce W, kterou musí motor vykonat:
\[ f\,=\,\frac{Q_\mathrm{S}}{W}\,=\,\frac{Q_\mathrm{S}}{Q_\mathrm{H}-Q_\mathrm{S}}\,. \]V ideální chladničce běžící podle Carnotova cyklu jsou vyměněná tepla úměrná teplotám, pro chladicí faktor dostáváme tedy vztah:
\[ f\,=\,\frac{T_\mathrm{S}}{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{S}}\,=\,\frac{275}{300-275}\,=\,11. \]Teplo odebrané z chladicího prostoru QS vyjádříme pomocí chladicího faktoru f a vykonanou práci vyjádříme pomocí výkonu motoru P a času t:
\[ Q_\mathrm{S}\,=\,fW\,=\,\frac{T_\mathrm{S}}{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{S}}W\,=\,\frac{T_\mathrm{S}}{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{S}}Pt, \] \[ Q_\mathrm{S}\,=\,\frac{275}{300-275}\cdot{200}\cdot 600\,\mathrm{J}\,\dot{=}\,1{,}32\,\mathrm{J}\,. \]Pro výpočet hmotnosti ochlazené vody m využijeme její měrnou tepelnou kapacitu c:
\[ Q_\mathrm{S}\,=\,cm\left(T_\mathrm{H}\,-\,T_\mathrm{S}\right) \]a vyjádříme hledanou hmotnost m. Za teplo QS dosadíme dříve odvozený vztah:
\[ m\,=\,\frac{Q_S}{c\left(T_\mathrm{H}\,-\,T_\mathrm{S}\right)}\,=\,\frac{\frac{T_\mathrm{S}}{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{S}}Pt}{c\left(T_\mathrm{H}\,-\,T_\mathrm{S}\right)}\,=\,\frac{T_\mathrm{S}Pt}{c\left(T_\mathrm{H}\,-\,T_\mathrm{S}\right)^2}, \] \[ m\,=\,\frac{275\cdot{200}\cdot{600}}{4180\cdot \left(300-275\right)^2}\,\mathrm{kg}\,\dot{=}\,12{,}6\,\mathrm{kg}\,. \]Odpověď
Ideální chladnička s uvedenými teplotami by měla chladicí faktor 11. Chladicí faktor skutečných chladniček dosahuje asi poloviční hodnoty.
Za 10 min by odebrala z chladicího prostoru 1,32 MJ, což znamená, že by za tuto dobu dokázala vychladit 12,6 l vody.
