Chladicí faktor chladničky

Úloha číslo: 349

Motor chladničky má výkon 200 W. Vypočítejte její ideální chladící faktor, jestliže teplota uvnitř chlazeného prostoru je 275 K a vně 300 K. Jaké je maximální teplo, které může být odebráno z chlazeného prostoru za 10 min? Kolik vody by tato chladnička dokázala za daný čas ochladit?

  • Nápověda – chladící faktor chladničky

    U chladničky se snažíme o odebírání tepla z chladného prostředí QS – toto teplo tedy bude hrát podobnou roli jako „výkon“ ve vzorci pro účinnost. Do chladícího procesu „investujeme“ práci stroje W, což je obdoba „příkonu“ ve vzorci pro účinnost. Pro chladící faktor f tedy můžeme psát:

    \[ f\,=\,\frac{Q_S}{W}\,=\,\frac{Q_S}{Q_H-Q_S}\,. \]

    Ideální chladnička by využívala Carnotův cyklus, pro který platí, že vyměňovaná tepla jsou úměrná příslušným teplotám, takže pro chladící faktor platí vztah:

    \[ f\,=\,\frac{T_S}{T_H-T_S}\,. \]
  • Zápis

    P = 200 W výkon motoru chladničky
    TH = 300 K termodynamická teplota vně chlazeného prostoru
    TS = 275 K termodynamická teplota uvnitř chlazeného prostoru
    t = 10 min = 600 s čas odebírání tepla
    f = ? chladící faktor
    Q = ? teplo odebrané z chladícího prostoru za čas t
    m = ? hmotnost ochlazené vody

    Z tabulek:

    c = 4180 J kg-1 K-1 měrná tepelná kapacita vody
  • Rozbor

    Ideální chladící faktor pro chladničku určíme, pokud budeme předpokládat, že chladnička pracuje podle Carnotova cyklu. V takovém případě jsou vyměňovaná tepla úměrná teplotám ohřívače a chladiče (viz nápověda).

    Potom pomocí výkonu motoru chladničky vypočteme teplo, které můžeme maximálně odebrat z jejího vnitřku za daný čas. Ze znalosti měrné tepelné kapacity vody vypočteme množství vody, které by tato lednička dokázala za stejný čas vychladit.

  • Řešení

    Chladící faktor chladničky je dán poměrem tepla odebraného z chladícího prostoru QS a práce W, kterou musí motor vykonat:

    \[ f\,=\,\frac{Q_S}{W}\,=\,\frac{Q_S}{Q_H-Q_S}\,. \]

    V ideální chladničce běžící podle Carnotova cyklu jsou vyměněná tepla úměrná teplotám, pro chladící faktor dostáváme tedy vztah:

    \[ f\,=\,\frac{T_S}{T_H-T_S}\,=\,\frac{275}{300-275}\,=\,11. \]

    Teplo odebrané z chladícího prostoru QS vyjádříme pomocí chladícího faktoru f a vykonanou práci vyjádříme pomocí výkonu motoru P a času t:

    \[ Q_S\,=\,fW\,=\,\frac{T_S}{T_H-T_S}W\,=\,\frac{T_S}{T_H-T_S}Pt \] \[ Q_S\,=\,\frac{275}{300-275}\cdot{200}\cdot 600\,\mathrm{J}\,\dot{=}\,1{,}32\,\mathrm{J}\,. \]

    Pro výpočet hmotnosti ochlazené vody m využijeme její měrnou tepelnou kapacitu c:

    \[ Q_S\,=\,cm\left(T_H\,-\,T_S\right) \]

    a vyjádříme hledanou hmotnost m a za teplo QS dosadíme dříve odvozený vztah:

    \[ m\,=\,\frac{Q_S}{c\left(T_H\,-\,T_S\right)}\,=\,\frac{\frac{T_S}{T_H-T_S}Pt}{c\left(T_H\,-\,T_S\right)}\,=\,\frac{T_SPt}{c\left(T_H\,-\,T_S\right)^2} \] \[ m\,=\,\frac{275\cdot{200}\cdot{600}}{4180\cdot \left(300-275\right)^2}\,\mathrm{kg}\,\dot{=}\,12{,}6\,\mathrm{kg}\,. \]
  • Odpověď

    Ideální chladnička s uvedenými teplotami by měla chladící faktor 11. Chladící faktor skutečných chladniček dosahuje asi poloviční hodnoty.

    Za 10 min by odebrala z chladícího prostoru 1,32 MJ, což znamená, že by za tuto dobu dokázala vychladit 12,6 l vody.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze