Střední volná dráha vodíku

Úloha číslo: 453

Střední volná dráha molekul vodíku je za normálních podmínek 130 nm. Jaký je průměr molekuly vodíku a jaká je její střední volná dráha při normální teplotě, ale při tlaku 133,3·10−4 Pa.

  • Nápověda 1

    V zadání se píše o normálních podmínkách. Co to znamená?

  • Nápověda 2 – průměr molekuly

    K výpočtu hledaného průměru d molekuly použijte známý vztah pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\).

  • Nápověda 3 – střední volná dráha za sníženého tlaku

    Při výpočtu střední volné dráhy \(\bar{\lambda}_2\) za sníženého tlaku p2 využijte toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku.

  • Zápis

    \[\bar{\lambda}_{1}=130\,\mathrm{nm}=1{,}3\cdot{10^{-7}}\,\mathrm{m}\] střední volná dráha molekul vodíku za normálních podmínek
    p2 = 133,3·10−4 Pa snížený tlak

    Z tabulek:

    T1 = 273,15 K normální teplota
    p1 = 101 325 Pa normální tlak
    k = 1,38 ·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta
  • Rozbor

    Střední volná dráha udává, jakou průměrnou vzdálenost urazí molekula mezi dvěma srážkami. K jejímu výpočtu se používá vzorec statistické fyziky, který říká, že je přímo úměrná termodynamické teplotě a nepřímo úměrná průřezu molekuly a tlaku.

    Ze zmíněného vztahu tedy můžeme rovnou vyjádřit hledaný průměr molekuly.

    Při výpočtu střední volné dráhy za sníženého tlaku potom využijeme toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku.

  • Řešení

    Pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}_1\) platí vztah

    \[\bar{\lambda}_1=\frac{kT_1}{p_1 \pi d^{2} \sqrt{2}},\]

    kde T1 je termodynamická teplota za normálních podmínek, p1 normální tlak, d průměr molekuly a k Boltzmannova konstanta.

    Z uvedeného vzorce můžeme rovnou vyjádřit hledaný průměr d molekuly:

    \[d^{2}=\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}\] \[d=\sqrt{\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}}.\]

    Při výpočtu střední volné dráhy \(\bar{\lambda}_2\) za sníženého tlaku p2 využijeme toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku. Pokud se tedy nezmění teplota (což je náš případ), musí mezi středními volnými drahami a příslušnými tlaky platit vztah

    \[\frac{\bar{\lambda}_{1}}{\bar{\lambda}_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.\]

    Odtud již díky jednoduché úpravě dostaneme výsledný vzorec pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}_{2}\) za sníženého tlaku p2:

    \[\bar{\lambda}_{2}=\frac{p_{1}\bar{\lambda}_{1}}{p_{2}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[d=\sqrt{\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot{273{,}15}}{101\,325\cdot \pi\cdot{1{,}3}\cdot{10^{-7}}\cdot \sqrt{2}}}\,\mathrm{m}\] \[d\dot{=}2{,}54\cdot{10^{-10}}\,\mathrm{m}=0{,}254\,\mathrm{nm}\] \[\bar{\lambda}_{2}=\frac{p_{1}\bar{\lambda}_{1}}{p_{2}}=\frac{101\,325\cdot{1{,}3}\cdot{10^{-7}}}{133{,}3\cdot{10^{-4}}}\, \mathrm{m}\dot{=}0{,}99\, \mathrm{m}\]
  • Odpověď

    Průměr molekul vodíku je přibližně 0,254 nm.

    Střední volná dráha těchto molekul za sníženého tlaku je asi 0,99 m.

  • Poznámka

    Bližší zdůvodnění platnosti uvedeného vzorce pro střední volnou dráhu molekul najdete v úloze Střední volná dráha argonu.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze