Střední volná dráha vodíku
Úloha číslo: 453
Střední volná dráha molekul vodíku je za normálních podmínek 130 nm. Jaký je průměr molekuly vodíku a jaká je její střední volná dráha při normální teplotě, ale při tlaku 133,3·10−4 Pa.
Nápověda 1
V zadání se píše o normálních podmínkách. Co to znamená?
Nápověda 2 – průměr molekuly
K výpočtu hledaného průměru d molekuly použijte známý vztah pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\).
Nápověda 3 – střední volná dráha za sníženého tlaku
Při výpočtu střední volné dráhy \(\bar{\lambda}_2\) za sníženého tlaku p2 využijte toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku.
Zápis
\[\bar{\lambda}_{1}=130\,\mathrm{nm}=1{,}3\cdot{10^{-7}}\,\mathrm{m}\] střední volná dráha molekul vodíku za normálních podmínek p2 = 133,3·10−4 Pa snížený tlak
Z tabulek:
T1 = 273,15 K normální teplota p1 = 101 325 Pa normální tlak k = 1,38 ·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta Rozbor
Střední volná dráha udává, jakou průměrnou vzdálenost urazí molekula mezi dvěma srážkami. K jejímu výpočtu se používá vzorec statistické fyziky, který říká, že je přímo úměrná termodynamické teplotě a nepřímo úměrná průřezu molekuly a tlaku.
Ze zmíněného vztahu tedy můžeme rovnou vyjádřit hledaný průměr molekuly.
Při výpočtu střední volné dráhy za sníženého tlaku potom využijeme toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku.
Řešení
Pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}_1\) platí vztah
\[\bar{\lambda}_1=\frac{kT_1}{p_1 \pi d^{2} \sqrt{2}},\]kde T1 je termodynamická teplota za normálních podmínek, p1 normální tlak, d průměr molekuly a k Boltzmannova konstanta.
Z uvedeného vzorce můžeme rovnou vyjádřit hledaný průměr d molekuly:
\[d^{2}=\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}\] \[d=\sqrt{\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}}.\]Při výpočtu střední volné dráhy \(\bar{\lambda}_2\) za sníženého tlaku p2 využijeme toho, že tato dráha je nepřímo úměrná tlaku. Pokud se tedy nezmění teplota (což je náš případ), musí mezi středními volnými drahami a příslušnými tlaky platit vztah
\[\frac{\bar{\lambda}_{1}}{\bar{\lambda}_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.\]Odtud již díky jednoduché úpravě dostaneme výsledný vzorec pro střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}_{2}\) za sníženého tlaku p2:
\[\bar{\lambda}_{2}=\frac{p_{1}\bar{\lambda}_{1}}{p_{2}}.\]Číselné dosazení
\[d=\sqrt{\frac{kT_{1}}{p_{1} \pi \bar{\lambda_{1}} \sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot{273{,}15}}{101\,325\cdot \pi\cdot{1{,}3}\cdot{10^{-7}}\cdot \sqrt{2}}}\,\mathrm{m}\] \[d\dot{=}2{,}54\cdot{10^{-10}}\,\mathrm{m}=0{,}254\,\mathrm{nm}\] \[\bar{\lambda}_{2}=\frac{p_{1}\bar{\lambda}_{1}}{p_{2}}=\frac{101\,325\cdot{1{,}3}\cdot{10^{-7}}}{133{,}3\cdot{10^{-4}}}\, \mathrm{m}\dot{=}0{,}99\, \mathrm{m}\]Odpověď
Průměr molekul vodíku je přibližně 0,254 nm.
Střední volná dráha těchto molekul za sníženého tlaku je asi 0,99 m.
Poznámka
Bližší zdůvodnění platnosti uvedeného vzorce pro střední volnou dráhu molekul najdete v úloze Střední volná dráha argonu.
