Dvě propojené nádoby

Úloha číslo: 332

Nádoba A obsahuje ideální plyn o teplotě 300 K a tlaku 5,0·105 Pa a je úzkou trubicí propojena s nádobou B. Nádoba B má čtyřikrát větší vnitřní objem, obsahuje stejný plyn ohřátý na teplotu 400 K a o tlaku 1,0·105 Pa. Jaký bude výsledný tlak celého systému, jestliže otevřeme kohoutek na spojovací trubici a zároveň budeme obě nádoby udržovat na původních teplotách?

  • Nápověda

    Pomocí stavové rovnice ideálního plynu můžeme určit množství plynu v obou nádobách.

    Po propojení obou nádob se část plynu přesune z nádoby A do nádoby B tak, aby v obou nádobách byl stejný tlak. Tlak v každé nádobě můžeme vyjádřit opět pomocí stavové rovnice. A dále si stačí uvědomit, že součet množství plynu v každé nádobě zvlášť po i před otevřením kohoutku musí být stejný.

  • Zápis

    TA = 300 K teplota nádoby A
    pA = 5,0·105 Pa tlak plynu v nádobě A
    VB = 4VA vztah mezi objemy obou nádob
    TB = 400 K teplota nádoby B
    pB = 1,0·105 Pa tlak plynu v nádobě B
    p = ? výsledný tlak plynu
  • Rozbor

    Nejprve si ze stavové rovnice pro ideální plyn vyjádříme množství plynu v obou nádobách před otevřením spojovacího kohoutu.

    Po otevření kohoutku na spojovací trubici se plyn v obou nádobách přerozdělí tak, aby v obou byl stejný tlak. Pro plyn v obou nádobách ale bude stále platit stavová rovnice, takže můžeme pomocí ní vyjádřit množství plynu v nádobách i po otevření kohoutku.

    Vzhledem k tomu, že plyn neunikal do okolí, tak celkové množství plynu v obou nádobách před otevřením a po otevření kohoutku musí být stejné. Odtud vyjádříme hledaný výsledný tlak.

  • Řešení

    Pro plyn v nádobě A platí stavová rovnice ve tvaru:

    \[ p_AV_A\,=\,n_ART_A\,, \]

    kde nA označuje neznámé látkové množství plynu v nádobě A, které z této rovnice vyjádříme:

    \[ n_A\,=\,\frac{p_AV_A}{RT_A}\,. \]

    Podobně vyjádříme i látkové množství plynu v nádobě B:

    \[ p_BV_B\,=\,n_BRT_B\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_B\,=\,\frac{p_BV_B}{RT_B}\,=\,\frac{4p_BV_A}{RT_B}\,. \]

    Látková množství plynu v nádobě A po otevření kohoutku označíme n1 a v nádobě B n2. Obě množství také vyjádříme ze stavové rovnice a dosadíme skutečnost, že tlak p v obou nádobách bude stejný.

    \[ pV_A\,=\,n_1RT_A\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_1\,=\,\frac{pV_A}{RT_A} \] \[ p4V_A\,=\,n_2RT_B\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_2\,=\,\frac{4pV_A}{RT_B}\,. \]

    Celkové látkové množství plynu v obou nádobách před a po otevření kohoutu je stejné, takže musí platit:

    \[n_A\,+\,n_B\,=\,n_1\,+\,n_2\] \[ \frac{p_AV_A}{RT_A}\,+\,\frac{4p_BV_A}{RT_B}\,=\,\frac{pV_A}{RT_A}\,+\,\frac{4pV_A}{RT_B}\,. \]

    Poslední rovnici upravíme a vyjádříme hledaný tlak p:

    \[ \frac{V_A}{R}\left(\frac{p_A}{T_A}\,+\,\frac{4p_B}{T_B}\right)\,=\,\frac{pV_A}{R}\left(\frac{1}{T_A}\,+\,\frac{4}{T_B}\right) \] \[ p\,=\,\frac{p_AT_B+4p_BT_A}{T_AT_B}\frac{T_AT_B}{T_B+4T_A}\,=\,\frac{p_AT_B+4p_BT_A}{T_B+4T_A}\,. \]

    Dosadíme zadané hodnoty:

    \[ p\,=\,\frac{5\cdot{10^5}\cdot{400}\,+\,4\cdot{1}\cdot 10^5\cdot{300}}{400\,+\,4\cdot{300}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,2{,}0\cdot{10^5}\,\mathrm{Pa}\,. \]
  • Odpověď

    Po otevření kohoutku na spojovací trubici bude tlak plynu v obou nádobách asi 2,0·105 Pa.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze