Dvě propojené nádoby
Úloha číslo: 332
Nádoba A obsahuje ideální plyn o teplotě 300 K a tlaku 5,0·105 Pa a je úzkou trubicí propojena s nádobou B. Nádoba B má čtyřikrát větší vnitřní objem, obsahuje stejný plyn ohřátý na teplotu 400 K a o tlaku 1,0·105 Pa. Jaký bude výsledný tlak celého systému, jestliže otevřeme kohoutek na spojovací trubici a zároveň budeme obě nádoby udržovat na původních teplotách?
Nápověda
Pomocí stavové rovnice ideálního plynu můžeme určit množství plynu v obou nádobách.
Po propojení obou nádob se část plynu přesune z nádoby A do nádoby B tak, aby v obou nádobách byl stejný tlak. Tlak v každé nádobě můžeme vyjádřit opět pomocí stavové rovnice. Dále si stačí uvědomit, že součet množství plynu v každé nádobě zvlášť po i před otevřením kohoutku musí být stejný.
Zápis
TA = 300 K teplota nádoby A pA = 5,0·105 Pa tlak plynu v nádobě A VB = 4VA vztah mezi objemy obou nádob TB = 400 K teplota nádoby B pB = 1,0·105 Pa tlak plynu v nádobě B p = ? výsledný tlak plynu Rozbor
Nejprve si ze stavové rovnice pro ideální plyn vyjádříme množství plynu v obou nádobách před otevřením spojovacího kohoutku.
Po otevření kohoutku na spojovací trubici se plyn v obou nádobách přerozdělí tak, aby v obou byl stejný tlak. Pro plyn v obou nádobách ale bude stále platit stavová rovnice, takže pomocí ní můžeme vyjádřit množství plynu v nádobách i po otevření kohoutku.
Vzhledem k tomu, že plyn neunikal do okolí, tak celkové množství plynu v obou nádobách před otevřením a po otevření kohoutku musí být stejné. Odtud vyjádříme hledaný výsledný tlak.
Řešení
Pro plyn v nádobě A platí stavová rovnice ve tvaru:
\[ p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}\,=\,n_\mathrm{A}RT_\mathrm{A}\,, \]kde nA označuje neznámé látkové množství plynu v nádobě A, které z této rovnice vyjádříme:
\[ n_\mathrm{A}\,=\,\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{A}}\,. \]Podobně vyjádříme i látkové množství plynu v nádobě B:
\[ p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}\,=\,n_\mathrm{B}RT_\mathrm{B}\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_\mathrm{B}\,=\,\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}{RT_\mathrm{B}}\,=\,\frac{4p_\mathrm{B}V_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{B}}\,. \]Látkové množství plynu v nádobě A po otevření kohoutku označíme n1 a v nádobě B n2. Obě množství také vyjádříme ze stavové rovnice a dosadíme skutečnost, že tlak p v obou nádobách bude stejný:
\[ pV_\mathrm{A}\,=\,n_1RT_\mathrm{A}\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_1\,=\,\frac{pV_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{A}}, \] \[ p4V_\mathrm{A}\,=\,n_2RT_\mathrm{B}\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_2\,=\,\frac{4pV_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{B}}\,. \]Celkové látkové množství plynu v obou nádobách před a po otevření kohoutu je stejné, takže musí platit:
\[n_\mathrm{A}\,+\,n_\mathrm{B}\,=\,n_1\,+\,n_2,\] \[ \frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{A}}\,+\,\frac{4p_BV_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{B}}\,=\,\frac{pV_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{A}}\,+\,\frac{4pV_\mathrm{A}}{RT_\mathrm{B}}\,. \]Poslední rovnici upravíme a vyjádříme hledaný tlak p:
\[ \frac{V_\mathrm{A}}{R}\left(\frac{p_\mathrm{A}}{T_\mathrm{A}}\,+\,\frac{4p_\mathrm{B}}{T_\mathrm{B}}\right)\,=\,\frac{pV_\mathrm{A}}{R}\left(\frac{1}{T_\mathrm{A}}\,+\,\frac{4}{T_\mathrm{B}}\right), \] \[ p\,=\,\frac{p_\mathrm{A}T_\mathrm{B}+4p_\mathrm{B}T_\mathrm{A}}{T_\mathrm{A}T_\mathrm{B}}\frac{T_\mathrm{A}T_B}{T_\mathrm{B}+4T_\mathrm{A}}\,=\,\frac{p_\mathrm{A}T_\mathrm{B}+4p_\mathrm{B}T_\mathrm{A}}{T_\mathrm{B}+4T_\mathrm{A}}\,. \]Dosadíme zadané hodnoty:
\[ p\,=\,\frac{5\cdot{10^5}\cdot{400}\,+\,4\cdot{1}\cdot 10^5\cdot{300}}{400\,+\,4\cdot{300}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,2{,}0\cdot{10^5}\,\mathrm{Pa}\,. \]Odpověď
Po otevření kohoutku na spojovací trubici bude tlak plynu v obou nádobách asi 2,0·105 Pa.
