Kalorimetrická rovnice a změny skupenství

Úloha číslo: 4497

V otevřené nádobě je 0,75 dm³ vody s teplotou 20 °C. Hustota vody je 1000 kg·m^-3.

a) Vypočítejte hmotnost vody v nádobě a vyjádřete její termodynamickou teplotu.

b) Vypočítejte, na jakou teplotu se voda v nádobě ohřeje, když jí dodáme 100 kJ tepla.

c) Vypočítejte, kolik tepla bychom museli vodě dodat, aby se z 20 °C ohřála na bod varu.

d) Popište stav vody po tom, co kromě výše zmíněných 100 kJ (úloha b) přijme dalších 300 kJ tepla. Svoji odpověď zdůvodněte a podložte vhodnými výpočty.

e) Vypočítejte změnu objemu 67 g vody, když se vypaří při teplotě varu a tlaku 100 kPa.

f) Vypočítejte velikost práce vykonané plynem při rozpínání (zvětšení objemu) v předcházející úloze e.

Další potřebné údaje si dohledejte v tabulkách.

Zápis

V = 0,75 dm³	objem vody v nádobě
t₀ = 20 °C	počáteční teplota vody v nádobě
\(\rho\) = 1000 kg·m^-3	hustota vody

a) m = ?	hmotnost vody v nádobě
T = ?	termodynamická teplota vody v nádobě
b) T₁ = ?	teplota vody v nádobě po dodání 100 kJ
c) Q_v = ?	potřebné teplo k ohřátí na bod varu
d) m₁ = ?	hmotnost vypařené vody
e) \(\Delta V\) = ?	změna objemu vody po vypaření
f) \(W\) = ?	práce vykonaná plynem při rozpínání

Z tabulek:
c = 4200 J·kg^-1·K^-1	měrná tepelná kapacita vody
l_v = 2,2 MJ·kg^-1	měrné skupenské teplo vypařování vody
R = 8,314 J·mol^-1·K^-1	molární plynová konstanta
M_m = 18 g·mol^-1	molární hmotnost vody

Nápověda a) Hmotnost vody v nádobě
Jak můžeme vypočítat hmotnost vody v nádobě? Jaký je vztah mezi hustotou, hmotností a objemem?

Chceme převést teplotu ve stupních Celsia na termodynamickou teplotu, tj. chceme znát teplotu v kelvinech. Jak můžeme mezi těmito stupnicemi převádět? Kolik K je 0 °C? Když zvýšíme teplotu např. o 10 °C, o kolik K se změní termodynamická teplota?
Řešení nápovědy a) Hmotnost vody v nádobě
Hustota je hmotnost dané látky vztažená k jednotkovému objemu, tj. kolik kg látky se vejde do 1 m³. Nejdříve ale musíme převést objem v dm³ na m³. \[\text{m}^3 = (10 \ \text{dm})^3 = 10^3 \ \text{dm}^3 \rightarrow \text{dm}^3 = 10^{-3} \ \text{m}^3\] \[\rho = \frac{m}{V} \rightarrow m = \rho V = 1000 \ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3} \cdot 0{,}75{\cdot} 10^{-3} \ \text{m}^3 = 0{,}75 \text{ kg}.\] Teplotě 0 °C odpovídá 273,15 K, zatímco 0 K je tzv. absolutní nula. Rozdíl teplot naměřený ve stupních Celsia je stejný jako v kelvinech. Pro převod mezi °C a kelviny platí: \[T = (273{,}15 + t) \ \text{K},\] kde t je teplota ve stupních Celsia. V našem případě \[T = (273{,}15 + 20) \ \text{K} = 293{,}15 \ \text{K}.\]
Nápověda b) Teplota po ohřátí
Uvědomte si, na čem závisí množství tepla, které musíme látce dodat, aby se ohřála o určitou teplotu. Napište si příslušný vztah. Jak můžeme z celkového dodaného tepla vypočítat změnu teploty vody?

Počáteční teplotu známe, jak můžeme dopočítat koncovou teplotu, když zjistíme změnu teploty?
Řešení nápovědy b) Teplota vody po ohřátí
Pro dodané teplo Q platí následující vztah, kde m je hmotnost vody v nádobě, c je měrná tepelná kapacita vody, \(\Delta T\) rozdíl mezi počáteční a koncovou teplotou.
\[Q = mc\Delta T \rightarrow \Delta T = \frac{Q}{mc}\tag{1}\]
Změna teploty je prostě rozdíl koncové a počáteční teploty, tedy
\[\Delta T = T_1 - T_0 \rightarrow T_1 = T_0 + \Delta T\]
kde T₁ je koncová teplota, T₀ je počáteční teplota.
\[T_1 = \frac{Q}{mc} + T_0 = \frac{100{\cdot} 10^3 \ \text{J}}{0{,}75 \ \text{kg} \cdot 4200 \ \text{J}\cdot \text{kg} \cdot \text{K}^{-1}} + 293{,}15 \ \text{K} = 324{,}65 \ \text{K} \ (t_1 = 51{,}5 \ ^{\circ} \text{C}) \]
Nápověda c) Teplo k ohřátí na bod varu
Pomocí jakého vztahu můžeme vypočítat teplo, které musíme vodě dodat, aby se ohřála na danou teplotu? Už jsme ho používali.
Řešení nápovědy c) Teplo k ohřátí na bod varu
Potřebné teplo můžeme vypočítat pomocí vztahu (1). Aby se voda ohřála z 20 °C na t_v = 100 °C, musí platit
\[Q_v = mc\Delta t = mc(t_v - t) = 0{,}75 \ \text{kg}\cdot 4200 \ \text{J}\cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{K}^{-1}\cdot 80 \ \text{K} = 252 \ \text{kJ}\]
Nápověda d) Vypařená voda
Celkově voda přijme 400 kJ tepla, to je více než v minulé úloze, voda se tedy určitě ohřeje na 100 °C. Zbytek tepla se zřejmě spotřebuje na vypařování. Dokážete z informací ze zadání určit, kolik vody se vypaří, když měrné skupenské teplo vypařování vody je množství tepla nutné k odpaření 1 kg vody?
Řešení nápovědy d) Vypařená voda
Víme, že teplo potřebné na ohřátí vody na bod varu je Q_v = 252 kJ, Q_dodané - Q_v = 400 kJ - 252 kJ = 148 kJ je množství tepla, které se spotřebuje na vypařování vody.

Když víme, že na vypařování se spotřebovalo 148 kJ a označíme-li m₁ množství odpařené vody, pak platí
\[L_v = m_1l_v \rightarrow m_1 = \frac{L_v}{l_v} = \frac{148 \ \text{kJ}}{2200 \ \text{kJ}\cdot \text{kg}^{-1}} = 0{,}067 \ \text{kg} = 67 \ \text{g vody.}\]
Nápověda e) Změna objemu
Když chceme spočítat změnu objemu, musíme nejdříve znát objem vody před vypařením.

Známe hmotnost odpařené vody, tedy vodní páry, známe její teplotu (100 °C) a tlak. Jakou rovnici můžeme použít pro výpočet objemu, budeme-li vodní páru považovat za ideální plyn? Vzpomeňte si, jak lze určit látkové množství, znáte-li hmotnost látky.
Řešení nápovědy e) Změna objemu
Objem 67 gramů vody můžeme vypočítat jako \[V_1 = \frac{m_1}{\rho} =\frac{67 \ \text{g}}{1 \ \text{g}\cdot \text{cm}^{-3}} = 67 \ \text{cm}^{-3} = 67 \ \text{ml.}\]
Na vypočítání objemu V vodní páry použijeme stavovou rovnici ideálního plynu
\[pV = nRT,\]
kde n je látkové množství, R je molární plynová konstanta, p je tlak a T je teplota vodní páry.

Látkové množství můžeme vyjádřit jako hmotnost látky dělenou molární hmotností látky. Molární hmotnost zjistíme z tabulek.

Pro naši vodní páru platí:
\[pV_2 = \frac{m_1}{M}RT_v \rightarrow V_2 = \frac{m_1RT_v}{pM} = \frac{67 \ \text{g}\cdot 8{,}31 \ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot \text{K}^{-1} \cdot 373{,}15 \ \text{K}}{100{\cdot} 10^3 \ \text{Pa} \cdot 18 \ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}} \, \dot= \,0{,}115 \ \text{m}^3\] \[V_1 = 67{\cdot} 10^{-6} \text{ m}^3 \rightarrow V_2 > V_1\] \[\Delta V = V_2 - V_1 = 0{,}115000 - 0{,}000067 = 0{,}114933 \, \dot= \,0{,}115 \ \text{m}^{3}\]
Nápověda f) Práce plynu
Jaký vztah platí pro práci vykonanou plynem při konstantním tlaku? Jak nám s výpočtem pomůže známá změna objemu plynu?
Řešení nápovědy f) Práce plynu
Pro práci vykonanou plynem při konstantním tlaku v minulé úloze e) platí
\[W = p\Delta V = p(V_2 - V_1) = 10^5\text{ Pa} \cdot(0{,}115000 \ \text{m}^3 - 0{,}000067 \ \text{m}^3) = 11 493{,}3 \ \text{J} \, \dot =\, 11{,}5 \ \text{kJ}\]

Odpovědi

a)	Hmotnost vody v nádobě je m = 0,75 kg, její termodynamická teplota je T = 293,15 K.
b)	Voda v nádobě se ohřeje na teplotu T₁ = 324,65 K, ve stupních Celsia t₁ = 51,5 °C.
c)	Vodě bychom museli dodat teplo Q_v = 252 kJ.
d)	Vypaří se m₁ = 67 g vody.
e)	Změna objemu 67 g vody bude \(\Delta V \ \dot{=}\) 0,115 m³.
f)	Plyn vykoná práci o velikosti \(W \ \dot{=}\) 11,5 kJ.