Rovnovážný stav vody a ocelového závaží

Úloha číslo: 362

Ocelové závaží o hmotnosti 0,9 kg a teplotě 300 °C bylo vloženo do vody o hmotnosti 2,5 kg a teplotě 15 °C.

Jaká je výsledná teplota ocelového závaží a vody po dosažení rovnovážného stavu?

  • Nápověda 1

    Uvědomte si, co pro nějakou soustavu znamená, když se o ní řekne, že je v rovnovážném stavu.

  • Nápověda 2

    Předpokládejme, že soustava je tepelně izolovaná.

    Rozmyslete si, v jakém vztahu musí být teplo odevzdané ocelovým závažím a teplo přijaté vodou.

  • Rozbor

    Při ponoření teplejšího tělesa do chladnější vody bude toto těleso předávat teplo vodě, dokud soustava nedojde do rovnovážného stavu. To znamená, že výměna bude probíhat do doby, než se teploty tělesa a vody vyrovnají.

    Pokud budeme naši soustavu pokládat za izolovanou, pak se teplo odevzdané předmětem musí rovnat teplu přijatému vodou. Z této rovnosti určíme požadovanou teplotu.

  • Zápis

    m1 = 0,9 kg hmotnost ocelového závaží
    t1 = 300 °C počáteční teplota ocelového závaží
    m2 = 2,5 kg hmotnost vody
    t2 = 15 °C počáteční teplota vody
    tv = ? výsledná teplota soustavy v rovnovážném stavu

    Z tabulek:

    co = 452 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita oceli
    cv = 4180 J kg−1 K−1 měrná teplená kapacita vody
  • Řešení

    Ocelové závaží odevzdá při svém ochlazování na výslednou teplotu tv < t1 teplo Qod, jehož velikost je v souladu s definicí měrné tepelné kapacity dána vztahem

    \[Q_{od} = m_{1}c_{o}\left( t_{1} - t_{v} \right) ,\]

    kde m1 je hmotnost předmětu a co je měrná tepelná kapacita oceli.

    Podobně voda při zahřátí na teplotu tv > t2 přijme teplo

    \[Q_{d} = m_{2}c_{v}\left( t_{v} - t_{2} \right) ,\]

    kde m2 je hmotnost vody a cv je měrná tepelná kapacita vody.

    Protože soustavu pokládáme za tepelně izolovanou, má odevzdané a dodané teplo stejnou velikost.

    Dosazením do rovnosti obdržíme rovnici

    \[Q_{od}=Q_{d}\] \[m_{1}c_{o}\left( t_{1} - t_{v} \right) = m_{2}c_{v}\left( t_{v} - t_{2} \right),\]

    ze které vyjádříme hledanou teplotu tv

    \[t_{v}\left( m_{2}c_{v} + m_{1}c_{o} \right) = m_{1}c_{o}t_{1} + m_{2}c_{v}t_{2}\] \[t_{v} = \frac{m_{1}c_{o}t_{1} + m_{2}c_{v}t_{2}}{\left( m_{2}c_{v} + m_{1}c_{o} \right)}\]
  • Číselné dosazení

    \[t_{v} = \frac{m_{1}c_{o}t_{1} + m_{2}c_{v}t_{2}}{\left( m_{2}c_{v} + m_{1}c_{o} \right)} = \frac{0{,}9\cdot{452}\cdot{300} + 2{,}5\cdot{4180}\cdot 15}{\left( 2{,}5\cdot{4180} + 0{,}9\cdot{452} \right)}\, \mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{v} \dot= 26\, \mathrm{^{\circ}C}\]
  • Odpověď

    Zjistili jsme, že výsledná teplota vody a ocelového závaží bude asi 26 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze