Vedení tepla
Úloha číslo: 455
Mezi dvěma rovnoběžnými deskami, z nichž každá má plochu 100 cm2, je vzduch při normálních podmínkách. Vzdálenost desek je 1 mm a rozdíl teplot, na kterých jsou desky udržované, je 1 K. Určete, jaké teplo se převede z jedné desky na druhou v důsledku tepelné vodivosti vzduchu za dobu 10 minut.
Předpokládejte, že průměr molekuly vzduchu je asi 0,3 nm a dále že měrná tepelná kapacita vzduchu je
\[c_{V}\,=\,\frac{5R}{2M_m},\]kde Mm je molární hmotnost vzduchu. Hustota vzduchu je 1,293 kg m−3.
Nápověda 1
V zadání je uvedeno, že děj probíhá za normálních podmínek. Co to znamená?
Nápověda 2 – výpočet tepla
Pro výpočet předaného tepla Q mezi oběma deskami za čas τ použijte tzv. Fourierův zákon
\[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l},\]kde l je vzdálenost desek, S plocha desek, ΔT rozdíl teplot na deskách (vztah je platný, pokud je po celou dobu trvání děje konstantní) a λ je tzv. koeficient tepelné vodivosti.
V uvedeném vztahu známe všechny veličiny až na koeficient tepelné vodivosti. Rozmyslete si (vyhledejte), jak ho lze určit.
Zápis
S = 100 cm2 = 0,01 m2 plocha každé desky l = 1 mm = 0,001 m vzdálenost desek ΔT = 1 K rozdíl teplot desek τ = 10 min = 600 s doba vedení tepla d = 0,3 nm = 3·10−10 m průměr „molekuly“ vzduchu ρ = 1,293 kg m−3 hustota vzduchu Q = ? předané teplo
Z tabulek:
Mm = 0,029 kg mol−1 molární hmotnost vzduchu T = 273,15 K teplota za normálních podmínek p = 101325 Pa tlak za normálních podmínek R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta k = 1,38·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta Rozbor
Pro výpočet předaného tepla použijeme vztah vycházející z Fourierova zákona. Podle něj je teplo přímo úměrné koeficientu tepelné vodivosti, ploše desek, rozdílu teplot na deskách a době vedení tepla a nepřímo úměrné vzdálenosti desek.
Neznámý koeficient tepelné vodivosti určíme pomocí vztahů pro střední rychlost molekul a střední volnou dráhu.
Řešení
Z Fourierova zákona plyne pro teplo Q předané mezi oběma deskami za čas τ vztah
\[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l},\]kde l je vzdálenost desek, S plocha desek, ΔT rozdíl teplot na deskách (musí být po celou dobu trvání děje konstantní) a λ je tzv. koeficient tepelné vodivosti.
Tento koeficient je jedinou veličinou, kterou nemáme přímo zadanou. Kinetická teorie plynů nám ji však umožňuje vypočítat ze střední rychlosti molekul \(\bar{v}\), střední volné dráhy \(\bar{\lambda}\), hustoty plynu ρ a měrné tepelné kapacity plynu cv. Příslušný vzorec vypadá následovně:
\[\lambda=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho c_{v}.\]Střední rychlost \(\bar{v}\) molekul lze vypočítat pomocí vztahu
\[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}},\]kde R je molární plynová konstanta, T teplota za normálních podmínek a Mm molární hmotnost vzduchu.
Střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\) zase můžeme určit ze vztahu
\[\bar{\lambda}=\frac{kT}{p d^{2}\pi \sqrt{2}},\]kde k je Boltzmannova konstanta, p tlak za normálních podmínek a d průměr „molekuly“ vzduchu.
Užitím těchto vzorců a zadaného výrazu pro měrnou tepelnou kapacitu vzduchu získáváme pro koeficient tepelné vodivosti λ vztah
\[\lambda=\frac{1}{2}\,\bar{v}\bar{\lambda}\rho c_{v}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{p d^{2}\pi \sqrt{2}}\,\rho\,\frac{5R}{2M_{m}}. \]Po úpravě dostaneme
\[\lambda=\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}.\]Dosazením do původního vtahu pro předané teplo Q pak hned dostáváme konečný vzorec
\[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}\,=\,\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}\,\frac{S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}.\]Číselné dosazení
\[Q=\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}\,\frac{S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}\] \[Q=\frac{5}{2}\,\left(\frac{8{,}31\cdot{273{,}15}}{\pi\cdot{ 0{,}029}}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot1{,}293}{101\,325\cdot{3^{2}}\cdot{10^{-20}}}\cdot\frac{0{,}01\cdot{ 1}\cdot{600}}{0{,}001}\,\mathrm{J}\] \[Q\dot{=}120\,\mathrm{J}\]Odpověď
Mezi deskami se za 10 minut převede teplo asi 120 J.
Komentář
Vedení tepla v plynech není dominantní způsob přenosu tepla. V plynech se teplo přenáší především prouděním.
Přesnost řešení
U vzorce pro koeficient tepelné vodivosti není konstanta na začátku zcela přesně rovna 1/2, jak jsme uvedli v úloze. Tento údaj vychází z přibližného teoretického výpočtu, podrobnější rozbor dává poněkud jinou hodnotu. Proto je možné, že se uvedený výsledek zcela přesně neshoduje se skutečnou hodnotou.
