Vedení tepla

Úloha číslo: 455

Mezi dvěma rovnoběžnými deskami, z nichž každá má plochu 100 cm2, je vzduch při normálních podmínkách. Vzdálenost desek je 1 mm a rozdíl teplot, na kterých jsou desky udržované, je 1 K. Určete, jaké teplo se převede z jedné desky na druhou v důsledku tepelné vodivosti vzduchu za dobu 10 minut.

Předpokládejte, že průměr molekuly vzduchu je asi 0,3 nm a dále že měrná tepelná kapacita vzduchu je

\[c_{V}\,=\,\frac{5R}{2M_m},\]

kde Mm je molární hmotnost vzduchu. Hustota vzduchu je 1,293 kg m−3.

  • Nápověda 1

    V zadání je uvedeno, že děj probíhá za normálních podmínek. Co to znamená?

  • Nápověda 2 – výpočet tepla

    Pro výpočet předaného tepla Q mezi oběma deskami za čas τ použijte tzv. Fourierův zákon

    \[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l},\]

    kde l je vzdálenost desek, S plocha desek, ΔT rozdíl teplot na deskách (vztah je platný, pokud je po celou dobu trvání děje konstantní) a λ je tzv. koeficient tepelné vodivosti.

     

    V uvedeném vztahu známe všechny veličiny až na koeficient tepelné vodivosti. Rozmyslete si (vyhledejte), jak ho lze určit.

  • Zápis

    S = 100 cm2 = 0,01 m2 plocha každé desky
    l = 1 mm = 0,001 m vzdálenost desek
    ΔT = 1 K rozdíl teplot desek
    τ = 10 min = 600 s doba vedení tepla
    d = 0,3 nm = 3·10−10 m průměr „molekuly“ vzduchu
    ρ = 1,293 kg m−3 hustota vzduchu
    Q = ? předané teplo

    Z tabulek:

    Mm = 0,029 kg mol−1 molární hmotnost vzduchu
    T = 273,15 K teplota za normálních podmínek
    p = 101325 Pa tlak za normálních podmínek
    R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta
    k = 1,38·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta
  • Rozbor

    Pro výpočet předaného tepla použijeme vztah vycházející z Fourierova zákona. Podle něj je teplo přímo úměrné koeficientu tepelné vodivosti, ploše desek, rozdílu teplot na deskách a době vedení tepla a nepřímo úměrné vzdálenosti desek.

    Neznámý koeficient tepelné vodivosti určíme pomocí vztahů pro střední rychlost molekul a střední volnou dráhu.

  • Řešení

    Z Fourierova zákona plyne pro teplo Q předané mezi oběma deskami za čas τ vztah

    \[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l},\]

    kde l je vzdálenost desek, S plocha desek, ΔT rozdíl teplot na deskách (musí být po celou dobu trvání děje konstantní) a λ je tzv. koeficient tepelné vodivosti.

    Tento koeficient je jedinou veličinou, kterou nemáme přímo zadanou. Kinetická teorie plynů nám ji však umožňuje vypočítat ze střední rychlosti molekul \(\bar{v}\), střední volné dráhy \(\bar{\lambda}\), hustoty plynu ρ a měrné tepelné kapacity plynu cv. Příslušný vzorec vypadá následovně:

    \[\lambda=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho c_{v}.\]

    Střední rychlost \(\bar{v}\) molekul lze vypočítat pomocí vztahu

    \[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}},\]

    kde R je molární plynová konstanta, T teplota za normálních podmínek a Mm molární hmotnost vzduchu.

    Střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\) zase můžeme určit ze vztahu

    \[\bar{\lambda}=\frac{kT}{p d^{2}\pi \sqrt{2}},\]

    kde k je Boltzmannova konstanta, p tlak za normálních podmínek a d průměr „molekuly“ vzduchu.

    Užitím těchto vzorců a zadaného výrazu pro měrnou tepelnou kapacitu vzduchu získáváme pro koeficient tepelné vodivosti λ vztah

    \[\lambda=\frac{1}{2}\,\bar{v}\bar{\lambda}\rho c_{v}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{p d^{2}\pi \sqrt{2}}\,\rho\,\frac{5R}{2M_{m}}. \]

    Po úpravě dostaneme

    \[\lambda=\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}.\]

    Dosazením do původního vtahu pro předané teplo Q pak hned dostáváme konečný vzorec

    \[Q=\frac{\lambda S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}\,=\,\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}\,\frac{S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}.\]
  • Číselné dosazení

    \[Q=\frac{5}{2}\,\left(\frac{RT}{\pi M_{m}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\frac{k\rho}{pd^{2}}\,\frac{S \mathrm{\Delta}T\tau}{l}\] \[Q=\frac{5}{2}\,\left(\frac{8{,}31\cdot{273{,}15}}{\pi\cdot{ 0{,}029}}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot1{,}293}{101\,325\cdot{3^{2}}\cdot{10^{-20}}}\cdot\frac{0{,}01\cdot{ 1}\cdot{600}}{0{,}001}\,\mathrm{J}\] \[Q\dot{=}120\,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Mezi deskami se za 10 minut převede teplo asi 120 J.

  • Komentář

    Vedení tepla v plynech není dominantní způsob přenosu tepla. V plynech se teplo přenáší především prouděním.

  • Přesnost řešení

    U vzorce pro koeficient tepelné vodivosti není konstanta na začátku zcela přesně rovna 1/2, jak jsme uvedli v úloze. Tento údaj vychází z přibližného teoretického výpočtu, podrobnější rozbor dává poněkud jinou hodnotu. Proto je možné, že se uvedený výsledek zcela přesně neshoduje se skutečnou hodnotou.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze