Sbírka řešených úloh

Tání ledu pomocí zahřívané tyče

Úloha číslo: 499

• Nápověda

  Součinitel tepelné vodivosti λ udává množství tepla, které by prošlo za jednu sekundu „tyčí“, která má průřez 1 m², délku 1 m a teploty na jejích koncích se liší o 1 °C.

  Rozmyslete si, které z uvedených parametrů prošlé teplo zvětšují a které naopak zmenšují. Zkuste z toho odvodit vztah pro výpočet tepla, které projde danou tyčí za 10 min.

• Rovnice vedení tepla

  Rovnice pro vedení tepla zní:

  \[Q=\lambda\frac{S\mathrm{\Delta}t}{d}\tau\]

  kde Q je prošlé teplo, λ je součinitel tepelné vodivostí (charakterizující materiál), S je obsah plochy a d tloušťka materiálu, přes který teplo prochází, Δt je teplotní rozdíl mezi oběma konci materiálu a τ je čas.

  Rovnice předpokládá, že teplotní rozdíl obou konců je konstantní.

• Rozbor

  Množství roztátého ledu bude záviset na tom, kolik tepla projde za danou dobu tyčí.

  Známe součinitel tepelné vodivosti materiálu λ, ze kterého je tyč vyrobena. Tento koeficient nám udává, kolik tepla projde za jednu sekundu tyčí, která má průřez 1 m², délku 1 m a teploty na koncích se liší o 1 °C. Pomocí rovnice vedení tepla, kde tento koeficient vystupuje, můžeme vypočítat teplo, které projde danou tyčí za daný čas a z něho pak určit, kolik ledu roztaje. To bude zase záviset na skupenském teple tání ledu, které najdeme v tabulkách.

• Zápis

  l = 1 m	délka tyče
  S = 3 cm2 = 3·10−4 m2	průřez tyče
  t1 = 300 °C	teplota na jednom konci tyče
  t2 = 0 °C	teplota na konci tyče, který se dotýká ledu
  τ = 10 min = 600 s	doba, za kterou taje led
  λ = 67,2 W m−1K−1	součinitel tepelné vodivosti užitého materiálu
  m = ?	hmotnost ledu, který roztaje

  Z tabulek:

  lt = 334·103 J kg−1

  měrné skupenské teplo tání ledu

• Řešení

  Množství ledu, který roztaje, bude určeno tím, kolik tepla za danou dobu prostoupí tyčí. Toto teplo spočítáme pomocí rovnice vedení tepla:

  \[Q_1=\frac{\lambda S\tau\mathrm{\Delta}t}{l}=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l}\,\mathrm{.}\]

  K roztátí ledu o hmotnosti m je třeba dodat teplo Q₂:

  \[ Q_2 = m l_t \]

  kde l_t je skupenské teplo tání ledu. Porovnáním obou výrazů pro teplo dostáváme:

  \[Q_2=Q_1\,\mathrm{,}\] \[\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l}=ml_{\mathrm{t}}\]

  a vyjádříme hledanou hmotnost ledu m

  \[m=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l_{\mathrm{t}}l}\,\mathrm{.}\]

  Číselné dosazení:

  \[m=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l_{\mathrm{t}}l}=\frac{67{,}2\cdot{3}\cdot{10^{-4}}\cdot{600}\cdot\left(300-0\right)}{334\cdot{10^3}\cdot{1}}\,\mathrm{kg}\dot=\] \[\dot=1{,}1\cdot{10^{-2}}\,\mathrm{kg}=11\,\mathrm{g}\]

• Odpověď

  Za 10 minut roztaje přibližně 11 g ledu.