Tání ledu pomocí zahřívané tyče

Úloha číslo: 499

Tyč délky 1 m má průřez 3 cm2. Na jednom konci je udržována na teplotě 300 °C a druhým koncem se opírá o led o teplotě 0 °C. Odhadněte, jaké množství ledu roztaje za 10 min. Součinitel tepelné vodivosti materiálu, z něhož je tyč vyrobena, je 67,2 W m−1K−1.

  • Nápověda

    Součinitel tepelné vodivosti λ udává množství tepla, které by prošlo za jednu sekundu „tyčí“, která má průřez 1 m2, délku 1 m a teploty na jejích koncích se liší o 1 °C.

    Rozmyslete si, které z uvedených parametrů prošlé teplo zvětšují a které naopak zmenšují. Zkuste z toho odvodit vztah pro výpočet tepla, které projde danou tyčí za 10 min.

  • Rozbor

    Množství roztátého ledu bude záviset na tom, kolik tepla projde za danou dobu tyčí.

    Známe součinitel tepelné vodivosti materiálu λ, ze kterého je tyč vyrobena. Tento koeficient nám udává, kolik tepla projde za jednu sekundu tyčí, která má průřez 1 m2, délku 1 m a teploty na koncích se liší o 1 °C. Pomocí rovnice vedení tepla, kde tento koeficient vystupuje, můžeme vypočítat teplo, které projde danou tyčí za daný čas a z něho pak určit, kolik ledu roztaje. To bude zase záviset na skupenském teple tání ledu, které najdeme v tabulkách.

  • Zápis

    l = 1 m délka tyče
    S = 3 cm2 = 3·10−4 m2 průřez tyče
    t1 = 300 °C teplota na jednom konci tyče
    t2 = 0 °C teplota na konci tyče, který se dotýká ledu
    τ = 10 min = 600 s doba, za kterou taje led
    λ = 67,2 W m−1K−1 součinitel tepelné vodivosti užitého materiálu
    m = ? hmotnost ledu, který roztaje

    Z tabulek:

    lt = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání ledu
  • Řešení

    Množství ledu, který roztaje, bude určeno tím, kolik tepla za danou dobu prostoupí tyčí. Toto teplo spočítáme pomocí rovnice vedení tepla:

    \[Q_1=\frac{\lambda S\tau\mathrm{\Delta}t}{l}=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l}\,\mathrm{.}\]

    K roztátí ledu o hmotnosti m je třeba dodat teplo Q2:

    \[ Q_2 = m l_t \]

    kde lt je skupenské teplo tání ledu. Porovnáním obou výrazů pro teplo dostáváme:

    \[Q_2=Q_1\,\mathrm{,}\] \[\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l}=ml_{\mathrm{t}}\]

    a vyjádříme hledanou hmotnost ledu m

    \[m=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l_{\mathrm{t}}l}\,\mathrm{.}\]

    Číselné dosazení:

    \[m=\frac{\lambda S\tau\left(t_1-t_2\right)}{l_{\mathrm{t}}l}=\frac{67{,}2\cdot{3}\cdot{10^{-4}}\cdot{600}\cdot\left(300-0\right)}{334\cdot{10^3}\cdot{1}}\,\mathrm{kg}\dot=\] \[\dot=1{,}1\cdot{10^{-2}}\,\mathrm{kg}=11\,\mathrm{g}\]
  • Odpověď

    Za 10 minut roztaje přibližně 11 g ledu.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze