Sbírka řešených úloh

Bublina v jezeře

Úloha číslo: 331

• Nápověda

  Když bublina stoupá ode dna jezera, nemění se pouze její teplota, ale také tlak plynu uvnitř bubliny. Tento tlak odpovídá tlaku vody v jejím okolí.

  Určete tlak vody v okolí bubliny, když je u dna a když je u hladiny.

• Tlak v okolí bubliny

  Tlak vody v určité hloubce jezera má dva hlavní příspěvky – za prvé hydrostatický tlak úměrný hloubce a za druhé atmosférický tlak. Působení atmosféry na hladinu jezera se díky Pascalovu zákonu (důsledek nestlačitelnosti vody) přenáší do všech míst vody v jezeře.

  Ve skutečnosti ještě k tlaku přispívá kapilární tlak daný povrchovým napětím vody a „zakřiveností“ povrchu bubliny a tlak sytých vodních par. Oba příspěvky jsou ale v této úloze zanedbatelné – viz komentář na konci úlohy.

• Zápis

  h = 20,7 m	hloubka jezera
  r1 = 5,0 mm = 5,0·10-3 m	poloměr bubliny u dna
  t1 = 7 °C ⇒ T1 = 280 K	teplota vody u dna jezera
  t2 = 27 °C ⇒ T2 = 300 K	teplota vody u hladiny jezera
  pa = 100 kPa = 1,00·105 Pa	atmosférický tlak
  r2 = ?	poloměr bubliny u hladiny jezera

  Z tabulek:

  ρ = 1000 kg m-3	hustota vody
  g = 9,81 m s-2	tíhové zrychlení

• Rozbor

  Při výpočtu poloměru bubliny využijeme toho, že tlak plynu uvnitř bubliny musí být stejný jako tlak vody v jejím okolí. V opačném případě by tlakové síly okolní vody a plyn uvnitř bubliny na rozhraní voda–vzduch byly odlišné a bublina by se buď zvětšovala, nebo zmenšovala.

  Tlak vody v okolí bubliny je dán hydrostatickým tlakem (přímo úměrným hloubce, ve které se bublina nachází) a atmosférickým tlakem, který díky Pascalovu zákonu přispívá k celkovému tlaku ve všech místech jezera stejně. Tlak plynu uvnitř bubliny můžeme určit pomocí stavové rovnice.

  Poznámka: V bublině je vzduch a sytá vodní pára. Z tabulek zjistíme, že tlak sytých vodních par pro uvedené teploty dosahuje hodnot několika kPa. Vůči atmosférickému tlaku tedy příspěvek sytých vodních par k tlaku v bublině zanedbáme.

• Řešení

  Nejprve si vyjádříme tlak vody u dna jezera p₁, ke kterému přispívá atmosférický a hydrostatický tlak

  $$p_1\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,h\rho g$$

  a uvědomíme si, že tlak u hladiny jezera p₂ je roven atmosférickému tlaku:

  $$p_2\,=\,p_\mathrm{a}\,.$$

  Budeme předpokládat, že plyn uvnitř bubliny se chová jako ideální plyn, a že tedy splňuje stavovou rovnici ideálního plynu, tj. že platí

  $$\frac{p_1V_1}{T_1}\,=\,\frac{p_2V_2}{T_2}\,.$$

  Tlak vzduchu bude stejný jako tlak okolní vody a objem bubliny určíme pomocí vzorce pro objem koule $V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3$. Vše dosadíme do stavové rovnice:

  $$\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)\frac{4}{3}\pi r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_a\frac{4}{3}\pi r_2^3}{T_2},$$ $$\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_\mathrm{a}r_2^3}{T_2}$$

  a vyjádříme neznámý poloměr r₂:

  $$r_2^3\,=\,\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_\mathrm{a}T_1},$$ $$r_2\,=\,\sqrt[3]{\frac{\left(p_\mathrm{a}+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_\mathrm{a}T_1}}\,.$$

  Dosadíme zadané číselné hodnoty:

  $$r_2\,=\,5\cdot{10^{-3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\left(10^5\,+\,{20{,}7}\cdot 1000\cdot{9{,}81}\right)\cdot 300}{10^5\cdot{280}}}\,\mathrm{m}$$ $$r_2\,\dot{=}\,7{,}4\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{m}\,=\,7{,}4\,\mathrm{mm}\,.$$

  Pozn.: Z obecného vztahu je vidět, že by bylo možné poloměr bubliny u dna r₁ dosadit v milimetrech a i výsledná hodnota by vyšla v milimetrech.

• Odpověď

  U hladiny jezera bude mít bublina poloměr asi 7,4 mm.

• Komentář o dalších příspěvcích k tlaku uvnitř bubliny

  Na tlak vzduchu uvnitř bubliny má vliv také povrchové napětí vody. Zakřivený povrch kapaliny vyvolává kapilární tlak o velikosti:

  $$p_\mathrm{k}\,=\,\frac{2\sigma}{r}\,\mathrm{,}$$

  kde r je poloměr zakřivení povrchu kapaliny a σ povrchové napětí této kapaliny. Pro vodu platí σ = 73 mN m^-1 = 0,073 N m^-1.

  Určíme hodnotu kapilárního tlaku pro oba poloměry bubliny:

  $$p_\mathrm{k1}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{5\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,29\,\mathrm{Pa}$$ $$p_\mathrm{k2}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{7{,}4\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,20\,\mathrm{Pa}\,.$$

  Vidíme, že hodnota kapilárního tlaku p_k je v porovnání s atmosférickým tlakem p_a zanedbatelná.

   

  Dále kromě vzduchu bude uvnitř bubliny také sytá vodní pára. Tlak syté vodní páry pro obě teploty můžeme vyhledat v tabulkách:

  pro t₁ =  7 °C    je    p_s = 1,02 kPa

  pro t₁ = 27 °C    je    p_s = 3,60 kPa

  Také tento příspěvek je v porovnání s velikostí atmosférického tlaku zanedbatelný.