Bublina v jezeře

Úloha číslo: 331

Vzduchová bublina o poloměru 5,0 mm stoupá ode dna jezera hlubokého 20,7 m. Teplota u dna jezera je 7 °C a u hladiny 27 °C. Atmosférický tlak je 100 kPa. Jak velká bude bublina, až dospěje ke hladině?

  • Nápověda

    Když bublina stoupá ode dna jezera, nemění se pouze její teplota, ale také tlak plynu uvnitř bubliny. Tento tlak odpovídá tlaku vody v jejím okolí.

    Určete tlak vody v okolí bubliny, když je u dna a když je u hladiny.

  • Zápis

    h = 20,7 m hloubka jezera
    r1 = 5,0 mm = 5,0·10-3 m poloměr bubliny u dna
    t1 = 7 °C ⇒ T1 = 280 K teplota vody u dna jezera
    t2 = 27 °C ⇒ T1 = 300 K teplota vody u hladiny jezera
    pa = 100 kPa = 1,00·105 Pa atmosférický tlak
    r2 = ? poloměr bubliny u hladiny jezera

    Z tabulek:

    ρ = 1000 kg m-3 hustota vody
    g = 9,81 m s-2 tíhové zrychlení
  • Rozbor

    Při výpočtu poloměru bubliny využijeme toho, že tlak plynu uvnitř bubliny musí být stejný jako tlak vody v jejím okolí. V opačném případě by tlakové síly okolní vody a plyn uvnitř bubliny na rozhraní voda-vzduch byly odlišné a bublina by se buď zvětšovala, nebo zmenšovala.

    Tlak vody v okolí bubliny je dán hydrostatickým tlakem (přímo úměrným hloubce, ve které se bublina nachází) a atmosférickým tlakem, který díky Pascalovu zákonu přispívá k celkovému tlaku ve všech místech jezera stejně. Tlak plynu uvnitř bubliny můžeme určit pomocí stavové rovnice.

    Poznámka: V bublině je vzduch a sytá vodní pára. Z tabulek zjistíme, že tlak sytých vodních par pro uvedené teploty dosahuje hodnot několika kPa. Vůči atmosférickému tlaku tedy příspěvek sytých vodních par k tlaku v bublině zanedbáme.

  • Řešení

    Nejprve si vyjádříme tlak vody u dna jezera p1, ke kterému přispívá atmosférický a hydrostatický tlak

    \[ p_1\,=\,p_a\,+\,h\rho g \]

    a uvědomíme si, že tlak u hladiny jezera p2 je roven atmosférickému tlaku

    \[ p_2\,=\,p_a\,. \]

    Budeme předpokládat, že plyn uvnitř bubliny se chová jako ideální plyn a že tedy splňuje stavovou rovnici ideálního plynu, tj. že platí

    \[ \frac{p_1V_1}{T_1}\,=\,\frac{p_2V_2}{T_2}\,. \]

    Tlak vzduchu bude stejný jako tlak okolní vody a objem bubliny určíme pomocí vzorce pro objem koule \(V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3\). Vše dosadíme do stavové rovnice

    \[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)\frac{4}{3}\pi r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_a\frac{4}{3}\pi r_2^3}{T_2} \] \[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_ar_2^3}{T_2} \]

    a vyjádříme neznámý poloměr r2

    \[ r_2^3\,=\,\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1} \] \[ r_2\,=\,\sqrt[3]{\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1}}\,. \]

    Dosadíme zadané číselné hodnoty

    \[ r_2\,=\,5\cdot{10^{-3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{\left(10^5\cdot{20{,}7}\cdot 1000\cdot{9{,}81}\right)\cdot 300}{10^5\cdot{280}}}\,\mathrm{m} \] \[ r_2\,\dot{=}\,7{,}4\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{m}\,=\,7{,}4\,\mathrm{mm}\,. \]

    Pozn.: Z obecného vztahu je vidět, že by bylo možné poloměr bubliny u dna r1 dosadit v milimetrech a i výsledná hodnota by vyšla v milimetrech.

  • Odpověď

    U hladiny jezera bude mít bublina poloměr asi 7,4 mm.

  • Komentář o dalších příspěvcích k tlaku uvnitř bubliny

    Na tlak vzduchu uvnitř bubliny má vliv také povrchové napětí vody. Zakřivený povrch kapaliny vyvolává kapilární tlak o velikosti:

    \[ p_k\,=\,\frac{2\sigma}{r}\,\mathrm{,} \]

    kde r je poloměr zakřivení povrchu kapaliny a σ povrchové napětí této kapaliny, pro vodu platí σ = 73 mN m-1 = 0,073 N m-1.

    Určíme hodnotu kapilárního tlaku pro oba poloměry bubliny:

    \[ p_\mathrm{k1}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{5\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,29\,\mathrm{Pa} \] \[ p_\mathrm{k2}\,=\,\frac{2\cdot{0{,}073}}{7{,}4\cdot{ 10^{-3}}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,20\,\mathrm{Pa}\,. \]

    Vidíme, že hodnota kapilárního tlaku pk je v porovnání s atmosférickým tlakem pa zanedbatelná.

     

    Dále kromě vzduchu bude uvnitř bubliny také sytá vodní pára. Tlak syté vodní páry pro obě teploty můžeme vyhledat v tabulkách:

    pro t1 =  7 °C    je    ps = 1,02 kPa

    pro t1 = 27 °C    je    ps = 3,60 kPa

    Také tento příspěvek je v porovnání s velikostí atmosferického tlaku zanedbatelný.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze