Potápění dřeva v benzenu
Úloha číslo: 474
Benzen má při teplotě 10 °C hustotu 880 kg m−3 a teplotní součinitel objemové roztažnosti 12·10−4 °C−1. Při této teplotě plave na jeho hladině dřevěné tělísko o hustotě 860 kg m−3. Při jaké teplotě začne dřevěné tělísko klesat ke dnu, je-li průměrný teplotní součinitel objemové roztažnosti tohoto dřeva 2,2·10−5 °C−1.
Nápověda
Jaký vztah musí být mezi hustotou benzenu a hustotou dřeva v okamžiku, kdy se začne dřevo potápět?
Rozbor
Díky tomu, že teplotní součinitel objemové roztažnosti je u benzenu větší než u dřeva, bude se vzrůstající teplotou hustota benzenu klesat rychleji než hustota dřeva. V určitém okamžiku se obě hustoty vyrovnají a poté se začne dřevěné tělísko potápět, neboť jeho hustota bude větší než hustota benzenu. My chceme zjistit právě teplotu, při níž se obě hustoty vyrovnají.
Tu zjistíme tak, že si obě hustoty vyjádříme pomocí definice, využijeme vztah pro objemovou teplotní roztažnost a z rovnosti obou hustot vyjádříme hledanou teplotu.
Zápis
t0 = 10 °C počáteční teplota ρ0b = 880 kg m−3 hustota benzenu při teplotě t0 βb = 12·10−4 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti benzenu ρ0d = 860 kg m−3 hustota dřeva při teplotě t0 βd = 2,2·10−5 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti dřeva t = ? teplota, při které začne dřevěné tělísko klesat Řešení
Dřevěné tělísko se začne potápět ve chvíli, kdy jeho hustota bude větší než hustota benzenu. Naším prvním úkolem je tedy nalezení vztahu popisujícího závislost hustoty dřeva a benzenu na změně teploty Δt. Vyjdeme z definičního vztahu pro hustotu ρ
\[\rho=\frac{m}{V}.\]Uvážíme, že hmotnost m se při změně teploty nemění, a pro změnu objemu V využijeme vzorec pro objemovou roztažnost
\[V=V_0(1+\beta\mathrm{\Delta}t).\]Bude tedy platit
\[\rho_{\mathrm{b}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}\,,\] \[\rho_{\mathrm{d}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\,.\]Nyní musíme nalézt změnu teploty Δt, při níž budou hustoty benzenu ρb a dřeva ρd stejné
\[\rho_b = \rho_d.\]Po dosazení z výše uvedených vztahů získáme rovnost
\[\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\]a z ní postupnými úpravami vypočteme hledanou změnu teploty Δt
\[\rho_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)=\rho_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)\,,\] \[\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}=\mathrm{\Delta}t\left(\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}\right)\,,\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}\,.\]Dřevěné tělísko tedy začne klesat ke dnu při teplotě t = t0 + Δt.
Číselné dosazení:
\[t=t_0+\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}=\left(10+\frac{880-860}{860\cdot{12}\cdot{10^{-4}}-880\cdot{2{,}2}\cdot{10^{-5}}}\right){\, ^\circ}\mathrm{C}\] \[t\dot=30\,^{\circ}\mathrm{C}\]Odpověď
Dřevěné tělísko se začne potápět při teplotě vyšší než je teplota přibližně 30 °C.
