Potápění dřeva v benzenu

Úloha číslo: 474

Benzen má při teplotě 0 °C hustotu 900 kg m−3 a teplotní součinitel objemové roztažnosti 12·10−4 °C−1. Při této teplotě plave na jeho hladině dřevěné tělísko o hustotě 880 kg m−3. Při jaké teplotě začne dřevěné tělísko klesat ke dnu, je-li teplotní součinitel objemové roztažnosti tohoto dřeva 2,2·10−5 °C−1.

  • Nápověda

    Jaký vztah musí být mezi hustotou benzenu a hustotou dřeva v okamžiku, kdy se začne dřevo potápět?

  • Rozbor

    Díky tomu, že teplotní součinitel objemové roztažnosti je u benzenu větší než u dřeva, bude se vzrůstající teplotou hustota benzenu klesat rychleji než hustota dřeva. V určitém okamžiku se obě hustoty vyrovnají a poté se začne dřevěné tělísko potápět, neboť jeho hustota bude větší než hustota benzenu. My chceme zjistit právě teplotu, při níž se obě hustoty vyrovnají.

    Tu zjistíme tak, že si obě hustoty vyjádříme pomocí definice, využijeme vztah pro objemovou teplotní roztažnost a z rovnosti obou hustot vyjádříme hledanou teplotu.

  • Zápis

    t0 = 0 °C  počáteční teplota
    ρ0b = 900 kg m−3 hustota benzenu při teplotě t0
    βb = 12·10−4 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti benzenu
    ρ0d = 880 kg m−3 hustota dřeva při teplotě t0
    βd = 2,2·10−5 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti dřeva
    t = ? teplota, při které začne dřevěné tělísko klesat
  • Řešení

    Dřevěné tělísko se začne potápět ve chvíli, kdy jeho hustota bude větší než hustota benzenu. Naším prvním úkolem je tedy nalezení vztahu popisujícího závislost hustoty dřeva a benzenu na změně teploty Δt. Vyjdeme z definičního vztahu pro hustotu ρ

    \[\rho=\frac{m}{V}.\]

    Uvážíme, že hmotnost m se při změně teploty nemění, a pro změnu objemu V využijeme vzorec pro objemovou roztažnost

    \[V=V_0(1+\beta\mathrm{\Delta}t).\]

    Bude tedy platit

    \[\rho_{\mathrm{b}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}\,,\] \[\rho_{\mathrm{d}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\,.\]

    Nyní musíme nalézt změnu teploty Δt, při níž budou hustoty benzenu  ρb a dřeva ρd stejné

    \[\rho_b = \rho_d.\]

    Po dosazení z výše uvedených vztahů získáme rovnost

    \[\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\]

    a z ní postupnými úpravami vypočteme hledanou změnu teploty Δt

    \[\rho_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)=\rho_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)\,,\] \[\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}=\mathrm{\Delta}t\left(\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}\right)\,,\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}\,.\]

    Dřevěné tělísko tedy začne klesat ke dnu při teplotě t = t0 + Δt.

     

    Číselné dosazení:

    \[t=t_0+\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}=\left(0+\frac{900-880}{880\cdot{12}\cdot{10^{-4}}-900\cdot{2{,}2}\cdot{10^{-5}}}\right){\, ^\circ}\mathrm{C}\] \[t\dot=19{,}3\,^{\circ}\mathrm{C}\]
  • Odpověď

    Dřevěné tělísko se začne potápět při teplotě vyšší než je teplota přibližně 19,3 °C.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze