Výška hladiny kapaliny v kapiláře

Úloha číslo: 1910

V nádobě s vodou o teplotě 20° C jsou jedním koncem ponořeny dvě kapiláry s průměry 0,1 mm a 0,3 mm. Jak se změní vzdálenost hladin v kapilárách, ohřejeme-li vodu na 70° C?

  • Zápis

    Zadané hodnoty:

    r1 = 0,05 mm = 5·10−5 m poloměr první kapiláry
    r2 = 0,15 mm = 1,5·10−4 m poloměr druhé kapiláry

    Tabulkové hodnoty:

    σ20 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody při 20 °C
    σ70 = 64·10−3 N m−1 povrchové napětí vody při 70 °C
    ρ20 = 998,2 kg m−3 hustota vody při 20 °C
    ρ70 = 977,8 kg m−3 hustota vody při 70 °C
  • Rozbor

    Nejprve je třeba zamyslet se nad tím, na čem závisí, do jaké výšky vystoupí voda v kapiláře. Ovlivní to jednak průměr kapiláry - v užší kapiláře vystoupí voda výše. Výška vystoupení vody závisí také na povrchovém napětí. Povrchové napětí vody se ale mění s teplotou - se vzrůstající teplotou klesá. Na teplotě závisí i hustota vody, která od cca 4 °C s rostoucí teplotou též klesá. Při zahřátí vody se tedy výška vody v kapilárách změní. Změnu průměru kapiláry při změně teploty vody nebudeme uvažovat.

    Nejdříve určíme výšku hladiny vody v obou kapilárách při teplotě 20 °C. Poté určíme vzdálenost hladin v těchto kapilárách.

    Obdobným způsobem pak určíme vzdálenost hladin vody v obou kapilárách při teplotě 70 °C.

    Nakonec vypočítáme, jak se změní vzdálenost hladin v kapilárách při uvedené změně teploty .

  • Nápověda

    Abyste mohli vypočítat změnu vzdálenosti hladin v kapilárách, potřebujete vědět, jaký vztah platí pro výpočet výšky hladiny kapaliny v kapiláře.

    Hodnoty povrchového napětí vody při různých teplotách najdete v Tabulkách nebo na internetu.

  • Řešení

    Nejdříve určíme vzdálenost hladin v kapilárách při teplotě vody 20° C.

    Výšku hladiny vypočítáme podle vztahu (1). Povrchové napětí σ a hustota kapaliny ρ závisí na teplotě, proto budou mít tyto veličiny ve spodním indexu zapsanou teplotu kapaliny.

    Označme si výšku hladiny vody v kapiláře o průměru 0,1 mm při teplotě 20° C jako h(1)20. Tuto výšku určíme ze vztahu

    \[h^{(1)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{r_{1}ρ_{20}g}.\tag{2}\]

    Pro výšku hladiny v kapiláře o průměru 0,3 mm při teplotě 20° C, kterou jsme označili jako h(2)20, platí

    \[h^{(2)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{r_{2}ρ_{20}g}.\tag{3}\]
    Dve kapilary

    Vzdálenost hladin v obou kapilárách určíme jako rozdíl výšek hladin v užší (2) a širší (3) kapiláře

    \[Δh_{20} = h^{(1)}_{20} − h^{(2)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{ρ_{20}g}\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{4}\]

    Pro vzdálenost hladin v kapilárách při 70° C platí obdobný vztah, jako při 20° C

    \[Δh_{70} = \frac{2σ_{70}}{ρ_{70}g}\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{5}\]

    Nyní můžeme určit změnu vzdáleností hladin v  apilárách při změně teploty vody z 20° C (4) na 70° C (5)

    \[Δh = Δh_{20} − Δh_{70} = \frac{2}{g}\left(\frac{σ_{20}}{ρ_{20}} − \frac{σ_{70}}{ρ_{70}}\right)\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{6}\]
  • Číselné dosazení

    Nyní dosadíme do vztahu (6) známé hodnoty a vypočítáme rozdíl vzdáleností hladin

    \[Δh \dot{=}\, \frac{2}{9{,}8}\left(\frac{73·10^{−3}}{998{,}2} − \frac{64·10^{−3}}{977{,}8}\right)\left(\frac{1}{5·10^{−5}} − \frac{1}{1{,}5·10^{−4}}\right) m\] \[Δh \dot{=}\, 2{,}1·10^{−2} m. \]
  • Odpověď

    Vypočítali jsme, že vzdálenost hladin v kapilárách se při změně teploty z 20° C na 70° C změní přibližně o 2,1 cm.

    Pokus k této úloze najdete zde: Výška hladiny kapaliny v kapiláře.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a
statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
×Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
Zaslat komentář k úloze