Sbírka řešených úloh

Průměr molekuly kyseliny olejové

Úloha číslo: 1732

• Zápis

  ρ = 900 kg m−3	hustota kyseliny olejové
  26 % z celkového objemu	mezery

  ---

  Z tabulek:

  NA = 6,023·1023 mol−1	Avogadrova konstanta
  Ar(C) = 12,011	relativní atomová hmotnost uhlíku
  Ar(H) = 1,0079	relativní atomová hmotnost vodíku
  Ar(O) = 15,999	relativní atomová hmotnost kyslíku

• Rozbor

  Avogadrova konstanta udává počet částic v jednom molu látky. Kdybychom určili objem jednoho molu kyseliny olejové, uměli bychom zjistit objem jedné její molekuly. Předpokládáme-li, že má kulový tvar, spočteme již snadno její průměr ze vztahu pro objem koule.

  K určení molárního objemu kyseliny olejové potřebujeme znát hustotu, ta je zadaná, a molární hmotnost, kterou spočteme pomocí relativních atomových hmotností prvků, jež molekula obsahuje - ty najdeme v tabulkách.

  Musíme vzít ještě v úvahu, že na mezery mezi molekulami připadá 26 % objemu, na samotné molekuly pak zbývá 76 % molárního objemu.

• Nápověda 1- molární hmotnost

  Pomocí relativních atomových hmotností uhlíku, vodíku a kyslíku, které najdete v tabulkách, určete molární hmotnost M_m kyseliny olejové.

• Molární hmotnost kyseliny olejové

  Abychom mohli vypočítat průměr molekuly, potřebujeme znát molární hmotnost kyseliny olejové. Vypočteme ji pomocí rovnice (odvození vztahu je v úloze Vztah mezi relativní molekulovou a molární hmotností):

  \[M_\mathrm{m} = A_\mathrm{r}·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}}\]

  Nejprve najdeme v periodické tabulce relativní atomové hmotnosti uhlíku, vodíku a kyslíku. Dále vypočteme molární hmotnosti všech atomů uhlíku, vodíku a kyslíku v molekule kyseliny olejové:

  \[M_\mathrm{m}(\mathrm{C}) = 18·A_\mathrm{r}(\mathrm{C})·10^{−3} = 18·12{,}011·10^{−3} = 216{,}198·10^{−3} \mathrm{kg mol^{−1}},\] \[M_\mathrm{m}(\mathrm{H}) = 34·A_\mathrm{r}(\mathrm{H})·10^{−3} = 34·1{,}0079·10^{−3} = 34{,}2686·10^{−3} \mathrm{kg mol^{−1}},\] \[M_\mathrm{m}(\mathrm{O}) =2·A_\mathrm{r}(\mathrm{O})·10^{−3} = 2·15{,}999·10^{−3} = 31{,}998·10^{−3} \mathrm{kg mol^{−1}}.\]

  Molární hmotnost uhlíku, vodíku a kyslíku sečteme a dostaneme molární hmotnost kyseliny olejové:

  \[M_\mathrm{m}(\mathrm{C}_{17}\mathrm{H}_{33}\mathrm{COOH}) = 2{,}86·10^{−1} \mathrm{kg mol^{−1}}.\]

• Nápověda 2 - molární objem

  Pomocí molární hmotnosti a hustoty vyjádřete molární objem kyseliny olejové a odtud pak pomocí Avogadrovy konstanty objem jedné molekuly kyseliny olejové. Nezapomeňte odečíst objem připadající na mezery mezi molekulami.

• Řešení

  Molární objem V_m je dán vztahem

  \[V_\mathrm{m} = \frac{M_\mathrm{m}}{ρ},\tag{1}\]

  kde M_m je molární hmotnost dané látky a ρ je její hustota.

  Na mezery mezi molekulami připadá 26 % objemu, na samotné molekuly pak zbývá 76 % molárního objemu. Vydělíme-li tento objem Avogadrovou konstantou (objem 1 molu vydělíme počtem částic v 1 molu), získáme objem jedné molekuly V_O

  \[V_\mathrm{O} = \frac{0{,}74 V_\mathrm{m}}{N_\mathrm{A}}.\tag{2}\]

  Molekula má kulový tvar. Pro objem molekuly (koule) platí vztah

  \[V_{O} = \frac{4}{3}πr^{3} = \frac{πd^{3}}{6},\]

  z objemu molekuly vyjádříme její průměr

  \[d = \sqrt[3]{\frac{6V_O}{π}}\]

  a tento vztah dále upravíme pomocí vztahů (2) a (1)

  \[d = \sqrt[3]{\frac{6·0{,}74V_\mathrm{m}}{πN_A}} = \sqrt[3]{\frac{6·0{,}74M_\mathrm{m}}{πρN_\mathrm{A}}}.\tag{3}\]

• Číselné dosazení

  Dosadíme do vztahu (3) molární hmotnost, kterou jsme vypočetli, hustotu známou ze zadání a Avogadrovu konstantu:

  \[d = \sqrt[3]{\frac{6·0{,}74·M_\mathrm{m}}{πρN_\mathrm{A}}} \dot{=}\, \sqrt[3]{\frac{6·0{,}74·2{,}86·10^{−1}}{900π·6{,}022·10^{23}}} \mathrm{m}\] \[d \dot{=}\, 9{,}07 ·10^{−10} \mathrm{m}.\]

• Odpověď

  Průměr molekuly kyseliny olejové je přibližně 9,07·10⁻¹⁰ m.

• Odkaz na experiment

  Pokus k měření průměru molekuly kyseliny olejové najdete zde: Průměr molekuly kyseliny olejové.