Sbírka řešených úloh

Teplota varu vody za vysokého tlaku

Úloha číslo: 418

• Nápověda

  Pro výpočet tohoto příkladu je potřeba použít Clausiovu-Clapeyronovu rovnici ve tvaru

  \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{l_{v}}{T\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) }.\]

• Rozbor

  Použijeme Clausiovu-Clapeyronovu rovnici, kterou vyřešíme jako diferenciální rovnici a integraci provedeme v mezích počátečního a koncového tlaku, resp. teploty varu. Odtud získáme vztah pro závislost teploty varu na tlaku.

• Zápis

  pv = 400 kPa = 4·105 Pa	vnější tlak
  p0 = 101 325 Pa	normální atmosférický tlak
  T0 = 373,15 K	teplota varu vody za normálního atmosférického tlaku
  ρp = 0,8 kg m−3	hustota vodních par
  Tv = ?	teplota varu vody při vnějším tlaku

  Z tabulek:

  lv = 2256 kJ kg−1 = = 2,256·106 J kg−1	měrné skupenské teplo vypařování vody
  ρv = 1000 kg m−3	hustota vody

• Řešení

  Při zvýšeném tlaku se zvyšuje rovněž teplota varu vody. Této skutečnosti se využívá například u Papinova hrnce. K tomu, abychom mohli tuto skutečnost podchytit kvantitativně, použijeme Clausiovu-Clapeyronovu rovnici ve tvaru

  \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{l_{v}}{T\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) },\]

  kde p je tlak, T termodynamická teplota, l_v měrné skupenské teplo vypařování vody, ρ_p hustota vodních par a ρ_v hustota vody. Tato rovnice popisuje fázový přechod, tj. závislost teploty přechodu na tlaku.

  Pravou stranu není možné pokládat za konstantní, protože závislost teploty varu na tlaku je vzhledem k velkému rozdílu hustot v obou skupenstvích poměrně výrazná. Budeme tedy chápat uvedený vztah jako diferenciální rovnici, kterou budeme řešit separací proměnných

  \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{l_{v}}{T\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) } \Rightarrow \mathrm{d}p = \frac{l_{v}}{\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) }\frac{\mathrm{d}T}{T} \]

  a následnou integrací v mezích od p₀ (atmosférický tlak) do p_v (vnější tlak) u tlaku respektive od T₀ (klasická teplota varu) do T_v (hledaná teplota varu) u teploty; měrné skupenské teplo varu i obě hustoty budeme pokládat za konstantní, a proto je můžeme vytknout před integrál)

  \[\int_{p_{0}}^{p_{v}}\, \mathrm{d}p =\frac{l_{v}}{\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) }\int_{T_{0}}^{T_{v}}{\frac{1}{T}}\, \mathrm{d}T \] \[p_{v}-p_{0} = \frac{l_{v}}{\left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right) }\left[ \ln T\right] _{T_{0}}^{T_{v}} \] \[\frac{\left( p_{v}-p_{0}\right) \left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right)}{l_{v}} = \ln T_{v} - \ln T_{0} \]

  Nakonec vyjádříme hledanou teplotu varu T_v

  \[ \ln T_{v}=\ln T_{0} + \frac{\left( p_{v}-p_{0}\right) \left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right)}{l_{v}},\] \[T_{v} = T_{0}e^{\frac{\left( p_{v}-p_{0}\right) \left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right)}{l_{v}}}.\]

• Číselné dosazení

  \[T_{v} = T_{0}e^{\frac{\left( p_{v}-p_{0}\right) \left( \frac{1}{\rho _{p}}-\frac{1}{\rho _{v}}\right)}{l_{v}}} \] \[T_{v}= 373{,}15\, \cdot \, e^{\frac{\left( 4\cdot{ 10^{5}}-101325\right) \left( \frac{1}{0{,}8}-\frac{1}{1000}\right)}{2{,}256\cdot{ 10^{6}}}}\, \mathrm{K}\] \[T_{v} \dot{=} 440\, \mathrm{K}\]

• Odpověď

  Teplota varu by za zadaného tlaku měla dosáhnout zhruba hodnoty 440 K.

• Komentář

  Výpočet však není příliš přesný, protože hustota vodní páry je pochopitelně funkcí teploty a tlaku, což při výpočtu nebylo zohledněno.

  Teplotu varu vody lze určit také pomocí závislosti tlaku jejích sytých par na teplotě. Kapalina totiž vře, pokud tlak sytých par při dané teplotě je roven vnějšímu tlaku. Z tabulek lze zjistit, že sytá vodní pára má tlak 4,155·10⁵ Pa (což je tlak nejbližší k tlaku zadanému v této úloze), při teplotě 418 K, což je tedy přibližná teplota varu vody.

• Odkaz na pokus

  Skutečnost, že teplota varu vody závisí na tlaku, lze ukázat také experimentálně. Jednoduché experimenty ukazující snížení této teploty při snížení tlaku jsou popsány v pokusu Závislost teploty varu vody na tlaku.