Sbírka řešených úloh

Změna vnitřní energie kyslíku

Úloha číslo: 425

• Nápověda 1

  Uvědomte si, na čem závisí vnitřní energie ideálního plynu.

• Řešení nápovědy 1

  Vnitřní energie ideálního plynu závisí pouze na jeho teplotě a jedná se také o stavovou veličinu, proto její změna bude stejná pro všechny tři případy.

• Nápověda 2

  Napište vztah mezi změnou vnitřní energie a změnou teploty.

• Vyjádření vztahu pro ΔU

  Změna vnitřní energie ΔU je přímo úměrná změně teploty ΔU, konstantou úměrnosti je tzv. měrná tepelná kapacita c_V za stálého objemu. Tj. můžeme psát vztah

  \[\Delta U = c_V m \left(T_2 - T_1\right).\]

  Uvědomíme-li si, že pro molární tepelnou kapacitu C_V platí

  \[C_V=c_VM_m,\]

  kde M_m je molární hmotnost, dostaneme

  \[\Delta U=\frac{m}{M_m} C_V \left(T_2 - T_1\right).\]

  Nahradíme-li nyní rozdíl termodynamických teplot T₂ − T₁ rozdílem teplot t₂ − t₁, získáme pro změnu vnitřní energie vztah

  \[\Delta U=\frac{m}{M_m} C_V \left(t_2 - t_1\right).\]

• Nápověda 3

  Molární tepelná kapacita při stálém objemu je pro kyslík

  \[C_V=\frac{5}{2}R.\]

• Rozbor

  Vnitřní energie ideálního plynu je stavovou veličinou závisející pouze na teplotě, proto bude ve všech třech uvažovaných případech výsledek stejný.

  Změnu vnitřní energie napíšeme jako součin látkového množství kyslíku, jeho molární tepelné kapacity za stálého objemu a rozdílu koncové a počáteční teploty.

  Neznámé látkové množství vyjádříme jako podíl hmotnosti a molární hmotnosti kyslíku.

• Zápis

  m = 100 g = 0,100 kg	hmotnost kyslíku
  t1 = 10 °C	počáteční teplota kyslíku
  t2 = 60 °C	koncová teplota kyslíku
  ΔU = ?	změna vnitřní energie kyslíku

  Z tabulek:

  R = 8,31 JK−1mol−1	molární plynová konstanta
  Mm = 32 g mol−1	molární hmotnost kyslíku O2

• Řešení

  Vnitřní energie ideálního plynu je stavovou veličinou závisející pouze na teplotě. To znamená, že ve všech třech uvažovaných případech bude výsledek stejný, protože záleží pouze na počáteční a koncové teplotě plynu, a ne na tom, jakým dějem zahřátí probíhá.

  Vzhledem k tomu, že molární tepelná kapacita při stálém objemu C_V je pro kyslík

  \[C_V=\frac{5}{2}R\]

  a že pro látkové množství n platí vzorec

  \[n=\frac{m}{M_m},\]

  můžeme pro změnu vnitřní energie ΔU psát

  \[\Delta U=nC_V\left(T_2-T_1\right)= \frac{m}{M_m}\,\frac{5}{2}R\,\left(T_2-T_1\right).\]

  Nahradíme-li navíc rozdíl termodynamických teplot T₂ − T₁ rozdílem teplot t₂ − t₁ a upravíme zlomek, dostaneme

  \[\Delta U=\frac{5mR}{2M_m}\left(t_2-t_1\right).\]

• Číselné dosazení

  \[\Delta U=\frac{5mR}{2M_m}\,\left(t_2-t_1\right)= \frac{5\cdot{ 0{,}100}\cdot{ 8{,}31}}{2\cdot{0{,}032}}\cdot \left(60-10\right)\,\mathrm{J}\dot{=}3250\,\mathrm{J}\]

• Odpověď

  Vnitřní energie se ve všech uvažovaných případech změní přibližně o 3250 J.