Změna teploty tání ledu
Úloha číslo: 464
Na jakou hodnotu se z atmosférického tlaku 101 325 Pa musí změnit vnější tlak, aby se teplota tání ledu snížila z běžné hodnoty 0 °C na hodnotu −1 °C?
Nápověda 1
K výpočtu použijte tzv. Clausiovu-Clapeyronovu rovnici ve vhodném tvaru.
Nápověda 2
Diferenciální rovnici, která vznikne po úpravě Clausiovy-Clapeyronovy rovnice, řešte metodou separace proměnných.
Zápis
pa = 101 325 Pa výchozí hodnota vnějšího tlaku pa tt1 = 0 °C => Tt1 = 273,15 K teplota tání ledu při pa tt2 = −1 °C => Tt2 = 272,15 K požadová teplota tání ledu pb = ? hledaná hodnota vnějšího tlaku
Z tabulek:
ρv = 1 000 kg m−3 přibližná hustota vody při tt1 ρl = 917 kg m−3 přibližná hustota ledu při tt1 lt = 334 kJ kg−1 = 334 000 J kg−1 měrné skupenské teplo tání ledu Rozbor
Při výpočtu vyjdeme z tzv. Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Jedná se v podstatě o diferenciální rovnici udávající skutečnost, že podíl elementární změny tlaku a elementární změny teploty, za níž probíhá fázový přechod, je roven podílu měrného skupenského tepla přeměny a výrazu, v němž je součin termodynamické teploty a rozdílu objemů jednoho kilogramu látky v 2. a 1. fázi.
Objem jednoho kilogramu ledu a vody vyjádříme pomocí příslušných hustot.
Velikost změny teploty tání způsobené tlakem není v tomto případě zanedbatelná vůči absolutní velikosti této teploty. Proto nemůžeme pokládat pravou stranu rovnice za konstantu a nahradit diferenciály klasickými „deltami“. Musíme uvedený vztah chápat jako diferenciální rovnici. K jejímu řešení použijeme metodu separace proměnných.
Řešení
Podobně jako v úloze Tavení olova vyjdeme z Clausiovy-Clapeyronovy rovnice ve tvaru
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{T(V_{kg2}-V_{kg1})},\]kde p je vnější tlak, T teplota tání, lt měrné skupenské teplo tání ledu, Vkg1 objem jednoho kilogramu ledu a Vkg2 objem jednoho kilogramu vody.
Objemy Vkg1 a Vkg2 neznáme. Můžeme je ale vyjádřit pomocí hustoty ρl ledu a ρv vody:
\[V_{kg1}=\frac{1}{\rho_l},\] \[V_{kg2}=\frac{1}{\rho_v}.\]Získáme tak rovnici
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}\,=\,\frac{l_{t}}{T\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}.\]Rozdíl oproti již zmíněné úloze je v tom, že tentokrát není velikost změny teploty tání způsobené tlakem zcela zanedbatelná vůči absolutní velikosti této teploty (změna je tentokrát 1 °C, absolutní velikost necelých 300 °C). Proto nemůžeme pokládat pravou stranu rovnice za konstantu a nahradit diferenciály klasickými „deltami“. Musíme uvedený vztah chápat jako diferenciální rovnici. K jejímu řešení použijeme metodu separace proměnných.
\[\int_{p_{a}}^{p_{b}}{}\,\mathrm{d}p=\int_{T_{t1}}^{T_{t2}}{\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\frac{\mathrm{d}T}{T}}\,\mathrm{d}T\]Jako meze jsme použili výchozí pa a hledanou pb hodnotu vnějšího tlaku, respektive teplotu tání Tt1 ledu při pa a teplotu tání Tt2 při pb.
Nyní vytkneme konstanty před integrál
\[\int_{p_{a}}^{p_{b}}{}\,\mathrm{d}p=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\int_{T_{t1}}^{T_{t2}}{\frac{\mathrm{d}T}{T}}\,\mathrm{d}T,\]zintegrujeme
\[\left[p\right]_{p_a}^{p_b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\left[\ln\,\mathrm{T}\right]_{T_{t1}}^{T_{t2}}\]a dosadíme meze
\[p_{b}-\,p_{a}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}.\]Odtud již můžeme rovnou vyjádřit hledaný tlak pb:
\[p_{b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}+p_{a}.\]Číselné dosazení
\[p_{b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}+p_{a}\] \[p_{b}=\frac{334\,000}{\left(\frac{1}{1000}-\frac{1}{917}\right)}\,\cdot\,\ln\,{\frac{272{,}15}{273{,}15}}+101\,325\,\mathrm{Pa}\] \[p_{b}\dot{=}13{,}6\cdot{10^{6}}\,\mathrm{Pa}=13{,}6\,\mathrm{MPa}\]Odpověď
Vnější tlak se musí zvýšit přibližně na hodnotu 13,6 MPa.
