Změna teploty tání ledu

Úloha číslo: 464

Na jakou hodnotu se z atmosférického tlaku 101 325 Pa musí změnit vnější tlak, aby se teplota tání ledu snížila z běžné hodnoty 0 °C na hodnotu −1 °C?

  • Nápověda 1

    K výpočtu použijte tzv. Clausiovu-Clapeyronovu rovnici ve vhodném tvaru.

  • Nápověda 2

    Diferenciální rovnici, která vznikne po úpravě Clausiovy-Clapeyronovy rovnice, řešte metodou separace proměnných.

  • Zápis

    pa = 101 325 Pa výchozí hodnota vnějšího tlaku pa
    tt1 = 0 °C => Tt1 = 273,15 K teplota tání ledu při pa
    tt2 = −1 °C => Tt2 = 272,15 K požadová teplota tání ledu
    pb = ? hledaná hodnota vnějšího tlaku

    Z tabulek:

    ρv = 1 000 kg m−3 přibližná hustota vody při tt1
    ρl = 917 kg m−3 přibližná hustota ledu při tt1
    lt = 334 kJ kg−1 = 334 000 J kg−1 měrné skupenské teplo tání ledu
  • Rozbor

    Při výpočtu vyjdeme z tzv. Clausiovy-Clapeyronovy rovnice. Jedná se v podstatě o diferenciální rovnici udávající skutečnost, že podíl elementární změny tlaku a elementární změny teploty, za níž probíhá fázový přechod, je roven podílu měrného skupenského tepla přeměny a výrazu, v němž je součin termodynamické teploty a rozdílu objemů jednoho kilogramu látky v 2. a 1. fázi.

    Objem jednoho kilogramu ledu a vody vyjádříme pomocí příslušných hustot.

    Velikost změny teploty tání způsobené tlakem není v tomto případě zanedbatelná vůči absolutní velikosti této teploty. Proto nemůžeme pokládat pravou stranu rovnice za konstantu a nahradit diferenciály klasickými „deltami“. Musíme uvedený vztah chápat jako diferenciální rovnici. K jejímu řešení použijeme metodu separace proměnných.

  • Řešení

    Podobně jako v úloze Tavení olova vyjdeme z  Clausiovy-Clapeyronovy rovnice ve tvaru

    \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{T(V_{kg2}-V_{kg1})},\]

    kde p je vnější tlak, T teplota tání, lt měrné skupenské teplo tání ledu, Vkg1 objem jednoho kilogramu ledu a Vkg2 objem jednoho kilogramu vody.

    Objemy Vkg1Vkg2 neznáme. Můžeme je ale vyjádřit pomocí hustoty ρl ledu a ρv vody:

    \[V_{kg1}=\frac{1}{\rho_l},\] \[V_{kg2}=\frac{1}{\rho_v}.\]

    Získáme tak rovnici

    \[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}\,=\,\frac{l_{t}}{T\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}.\]

    Rozdíl oproti již zmíněné úloze je v tom, že tentokrát není velikost změny teploty tání způsobené tlakem zcela zanedbatelná vůči absolutní velikosti této teploty (změna je tentokrát 1 °C, absolutní velikost necelých 300 °C). Proto nemůžeme pokládat pravou stranu rovnice za konstantu a nahradit diferenciály klasickými „deltami“. Musíme uvedený vztah chápat jako diferenciální rovnici. K jejímu řešení použijeme metodu separace proměnných.

    \[\int_{p_{a}}^{p_{b}}{}\,\mathrm{d}p=\int_{T_{t1}}^{T_{t2}}{\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\frac{\mathrm{d}T}{T}}\,\mathrm{d}T\]

    Jako meze jsme použili výchozí pa a hledanou pb hodnotu vnějšího tlaku, respektive teplotu tání Tt1 ledu při pa a teplotu tání Tt2 při pb.

    Nyní vytkneme konstanty před integrál

    \[\int_{p_{a}}^{p_{b}}{}\,\mathrm{d}p=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\int_{T_{t1}}^{T_{t2}}{\frac{\mathrm{d}T}{T}}\,\mathrm{d}T,\]

    zintegrujeme

    \[\left[p\right]_{p_a}^{p_b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\left[\ln\,\mathrm{T}\right]_{T_{t1}}^{T_{t2}}\]

    a dosadíme meze

    \[p_{b}-\,p_{a}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}.\]

    Odtud již můžeme rovnou vyjádřit hledaný tlak pb:

    \[p_{b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}+p_{a}.\]
  • Číselné dosazení

    \[p_{b}=\frac{l_{t}}{\left(\frac{1}{\rho_{v}}-\frac{1}{\rho_{l}}\right)}\,\ln\,\frac{T_{t2}}{T_{t1}}+p_{a}\] \[p_{b}=\frac{334\,000}{\left(\frac{1}{1000}-\frac{1}{917}\right)}\,\cdot\,\ln\,{\frac{272{,}15}{273{,}15}}+101\,325\,\mathrm{Pa}\] \[p_{b}\dot{=}13{,}6\cdot{10^{6}}\,\mathrm{Pa}=13{,}6\,\mathrm{MPa}\]
  • Odpověď

    Vnější tlak se musí zvýšit přibližně na hodnotu 13,6 MPa.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze