Měrná tepelná kapacita plynu
Úloha číslo: 397
Určete měrné tepelné kapacity cV a cp neznámého plynu, víte-li, že při teplotě 293 K a tlaku 100 kPa je jeho hustota 1,27 kg m−3 a Poissonova konstanta plynu je κ = 1,4.
Nápověda 1
Použijte Meyerův vztah a zamyslete se, jak ho převést na vztah mezi měrnými, nikoli molárními tepelnými kapacitami při stálém tlaku a při stálém objemu.
Nápověda 2
Uvědomte si, že pro Poissonovu konstantu κ platí vztah
\[\kappa = \frac{c_p}{c_V}= \frac{C_p}{C_V},\]kde cp, resp. Cp je měrná, resp. molární tepelná kapacita při stálém tlaku a cV, resp. CV měrná, resp. molární tepelná kapacita při stálém objemu.
Nápověda 3
Pro vyjádření molární hmotnosti Mm plynu použijte stavovou rovnici ideálního plynu.
Rozbor
Při řešení vyjdeme z Meyerova vztahu, který vydělením molární hmotností plynu převedeme na vztah mezi měrnými tepelnými kapacitami při stálém tlaku a při stálém objemu.
Neznámou molární hmotnost plynu můžeme vyjádřit ze stavové rovnice ideálního plynu.
Měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku vypočítáme jako součin Poissonovy konstanty a měrné tepelné kapacity při stálém objemu.
Zápis
T = 293 K teplota plynu p = 100 kPa = 1,00·105 Pa tlak plynu ρ = 1,27 kg·m−3 hustota plynu κ = 1,4 Poissonova konstanta plynu cV = ? měrná tepelná kapacita plynu při stálem objemu cp = ? měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku Z tabulek:
R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Řešení
Vyjdeme z Meyerova vztahu Cp = CV + R, který dává do souvislosti molární tepelné kapacity při stálém objemu CV a při stálém tlaku Cp.
V naší úloze však máme určovat měrné, nikoliv molární tepelné kapacity. Z tohoto důvodu Meyerův vztah vydělíme molární hmotností plynu Mm
\[\frac{C_p}{M_m} = \frac{C_V}{M_m} + \frac{R}{M_m},\]čímž dostaneme výraz
\[c_p = c_V + \frac{R}{M_m}.\]Nyní využijeme zadanou Poissonovu konstantu κ, pro níž platí vztah
\[\kappa = \frac{C_p}{C_V} = \frac{c_p}{c_V}.\]Vyjádříme z něj měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku
\[c_p=\kappa c_V,\]a dosadíme ji do výše uvedeného vztahu
\[\kappa c_V=c_V+\frac{R}{M_m}.\]Pro hledanou měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu cV potom dostaneme vztah
\[c_V=\frac{R}{M_m(\kappa-1)}.\]Nyní je však ještě třeba spočítat zatím neznámou molární hmotnost plynu Mm. K tomu nám velmi dobře poslouží stavová rovnice ideálního plynu
\[pV=\frac{m}{M_m}RT. \]Z ní vyjádříme molární hmotnost
\[M_m=\frac{m}{V}\frac{RT}{p}\]a podíl \(\frac{m}{V}\) nahradíme zadanou hustotou plynu ρ:
\[M_m=\frac{\rho RT}{p}.\]Dosazením do získaného výrazu pro měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu pak dostáváme:
\[c_V=\frac{R}{M_m(\kappa-1)}=\frac{R}{\frac{\rho RT}{p}(\kappa-1)}=\frac{p}{\rho T(\kappa-1)}.\]Měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku cp pak rovnou spočítáme ze vztahu
\[c_p = \kappa c_V = \frac{\kappa p}{\rho T(\kappa-1)}. \]Číselné dosazení
\[c_V=\frac{p}{\rho T(\kappa-1)}\] \[c_V= \frac{100\cdot{10^3}}{1{,}27\cdot{293}\cdot (1{,}4-1)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot{=}672\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_p = \kappa c_V =1{,}4\cdot{671{,}8}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot{=}941\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]Odpověď
Měrná tepelná kapacita neznámého plynu při stálém objemu je asi 672 Jkg−1K−1.
Jeho měrná tepelná kapacita při stálém tlaku je pak přibližně 941 Jkg−1K−1.
