Měrná tepelná kapacita plynu

Úloha číslo: 397

Určete měrné tepelné kapacity cVcp neznámého plynu, víte-li, že při teplotě 293 K a tlaku 100 kPa je jeho hustota 1,27 kg m−3 a Poissonova konstanta plynu je κ = 1,4.

  • Nápověda 1

    Použijte Meyerův vztah a zamyslete se, jak ho převést na vztah mezi měrnými, nikoli molárními tepelnými kapacitami při stálém tlaku a při stálém objemu.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, že pro Poissonovu konstantu κ platí vztah

    \[\kappa = \frac{c_p}{c_V}= \frac{C_p}{C_V},\]

    kde cp, resp. Cp je měrná, resp. molární tepelná kapacita při stálém tlaku a cV, resp. CV měrná, resp. molární tepelná kapacita při stálém objemu.

  • Nápověda 3

    Pro vyjádření molární hmotnosti Mm plynu použijte stavovou rovnici ideálního plynu.

  • Rozbor

    Při řešení vyjdeme z Meyerova vztahu, který vydělením molární hmotností plynu převedeme na vztah mezi měrnými tepelnými kapacitami při stálém tlaku a při stálém objemu.

    Neznámou molární hmotnost plynu můžeme vyjádřit ze stavové rovnice ideálního plynu.

    Měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku vypočítáme jako součin Poissonovy konstanty a měrné tepelné kapacity při stálém objemu.

  • Zápis

    T = 293 K teplota plynu
    p = 100 kPa = 1,00·105 Pa tlak plynu
    ρ = 1,27 kg·m−3 hustota plynu
    κ = 1,4 Poissonova konstanta plynu
    cV = ? měrná tepelná kapacita plynu při stálem objemu
    cp = ? měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku

    Z tabulek:

    R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta
  • Řešení

    Vyjdeme z Meyerova vztahu Cp = CV + R, který dává do souvislosti molární tepelné kapacity při stálém objemu CV a při stálém tlaku Cp.

    V naší úloze však máme určovat měrné, nikoliv molární tepelné kapacity. Z tohoto důvodu Meyerův vztah vydělíme molární hmotností plynu Mm

    \[\frac{C_p}{M_m} = \frac{C_V}{M_m} + \frac{R}{M_m},\]

    čímž dostaneme výraz

    \[c_p = c_V + \frac{R}{M_m}.\]

    Nyní využijeme zadanou Poissonovu konstantu κ, pro níž platí vztah

    \[\kappa = \frac{C_p}{C_V} = \frac{c_p}{c_V}.\]

    Vyjádříme z něj měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku

    \[c_p=\kappa c_V,\]

    a dosadíme ji do výše uvedeného vztahu

    \[\kappa c_V=c_V+\frac{R}{M_m}.\]

    Pro hledanou měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu cV potom dostaneme vztah

    \[c_V=\frac{R}{M_m(\kappa-1)}.\]

    Nyní je však ještě třeba spočítat zatím neznámou molární hmotnost plynu Mm. K tomu nám velmi dobře poslouží stavová rovnice ideálního plynu

    \[pV=\frac{m}{M_m}RT. \]

    Z ní vyjádříme molární hmotnost

    \[M_m=\frac{m}{V}\frac{RT}{p}\]

    a podíl \(\frac{m}{V}\) nahradíme zadanou hustotou plynu ρ:

    \[M_m=\frac{\rho RT}{p}.\]

    Dosazením do získaného výrazu pro měrnou tepelnou kapacitu při stálém objemu pak dostáváme:

    \[c_V=\frac{R}{M_m(\kappa-1)}=\frac{R}{\frac{\rho RT}{p}(\kappa-1)}=\frac{p}{\rho T(\kappa-1)}.\]

    Měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku cp pak rovnou spočítáme ze vztahu

    \[c_p = \kappa c_V = \frac{\kappa p}{\rho T(\kappa-1)}. \]
  • Číselné dosazení

    \[c_V=\frac{p}{\rho T(\kappa-1)}\] \[c_V= \frac{100\cdot{10^3}}{1{,}27\cdot{293}\cdot (1{,}4-1)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot{=}672\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_p = \kappa c_V =1{,}4\cdot{671{,}8}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot{=}941\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]
  • Odpověď

    Měrná tepelná kapacita neznámého plynu při stálém objemu je asi 672 Jkg−1K−1.

    Jeho měrná tepelná kapacita při stálém tlaku je pak přibližně 941 Jkg−1K−1.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze