Sbírka řešených úloh

Voda v nádobce s dírkami ve dně

Úloha číslo: 2026

• Zápis a tabulkové hodnoty

  poloměr dírky ve dně nádoby	r = 10−4 m
  povrchové napětí vody (při teplotě 18 °C)	σ = 73·10−3 N·m−1
  hustota vody	ρ = 1000 kg·m−3

• Teorie - povrchová vrstva kapaliny, povrchové síly

  Povrch kapaliny se chová jako tenká pružná blána. Povrchovou vrstvu kapaliny tvoří molekuly, jejichž sféra molekulárního působení zasahuje nad hladinu kapaliny. Na molekulu ležící v povrchové vrstvě kapaliny působí okolní molekuly kapaliny přitažlivými silami a výslednice těchto sil působí kolmo od povrchu kapaliny směrem dolů. Důsledkem toho je molekulární (kohézní) tlak v kapalině. (Blíže v teorii k úloze Skleněné destičky ve vodě.)

  U zakřivených povrchů kapaliny (kapky, bubliny, zakřivení u stěn kapilár) se pak díky působení povrchových sil objevuje ještě kapilární tlak. (Blíže v teorii k úloze Skleněná trubička a mýdlové bubliny.)

  V naší situaci se u otvoru ve dně začne vytvářet kapka. Po obvodu otvoru působí tečně k povrchu kapky povrchové síly. V obrázku 1 je vyznačena jejich výslednice F_p. (V případě úplného smáčení se vytvoří kapka ve tvaru polokoule a povrchové síly míří svisle vzhůru.)

  

• Rozbor

  Chceme vypočítat, jak vysoko nad dnem nádoby bude hladina vody poté, co voda z nádoby přestane vytékat dírkami ve dně. Otázkou je, proč voda přestane dírkami z nádoby vytékat, co ji v nádobě udrží.

  Vezmeme-li sloupec vody nad neporušeným dnem, působí na něj směrem dolů tíhová síla, odspodu jej podepírá dno a působí na něj stejně velkou tlakovou silou směrem vzhůru.

  Na sloupec vody nad dírkou působí také tíhová síla, proti ní působí výslednice povrchových sil, které působí na vodu po obvodu otvoru. Dokud je sloupec vody příliš vysoký a tíhová síla je větší než výslednice povrchových sil, voda z dírky vytéká. V okamžiku, kdy hladina klesne do takové výšky, že se obě síly vyrovnají, přestane voda vytékat. Z rovnosti velikostí obou sil můžeme při znalosti průměru otvoru a povrchového napětí vody určit výšku hladiny vody v nádobě.

• Nápověda 1 - působící síly

  Vyznačte si do obrázku sloupec vody nad dírkou. Rozmyslete, jaké síly na vodu působí a zakreslete je do obrázku. Jaká je výslednice těchto sil, když voda přestane z nádoby vytékat?

• Řešení nápovědy 1 - působící síly

  

  Na sloupec vody nad dírkou působí tíhová síla F_g, proti ní působí výslednice povrchových sil F_p, které působí na vodu po obvodu otvoru. Voda přestane z otvoru vytékat v okamžiku, kdy se obě síly vyrovnají a jejich výslednice je nulová

  \[F_\mathrm{g} = F_\mathrm{p}.\tag{1}\]

• Nápověda 2 - vyjádření sil

  Zkuste vyjádřit velikosti obou sil pomocí známých vztahů a z jejich rovnosti pak najít hledanou výšku hladiny.

• Řešení nápovědy 2 - vyjádření sil

  Velikost tíhové síly působící na sloupec vody nad dírkou vyjádříme jako součin její hmotnosti a tíhového zrychlení

  \[F_\mathrm{g} = mg.\]

  Hmotnost zapíšeme pomocí hustoty vody a objemu, objem pak ještě pomocí výšky hladiny a obsahu plochy dírky

  \[F_\mathrm{g} = ρVg = ρh·πr^{2}g.\tag{2}\]

  Výslednici povrchových sil vypočítáme ze vztahu

  \[F_\mathrm{p} = σl,\]

  kde l značí délku okraje povrchové vrstvy kapaliny, na nějž povrchová síla působí kolmo k povrchu kapaliny a σ je povrchové napětí kapaliny.

  Výslednice povrchových sil v okolí dírek o poloměru r bude mít velikost

  \[F_\mathrm{p} = σ2πr.\tag{3}\]

  Voda z nádoby přestane vytékat v okamžiku, kdy se tíhová síla vyrovná s výslednicí povrchových sil. Vztahy (2) a (3) dosadíme do vztahu (1)

  \[F_{\mathrm{g}} = F_{\mathrm{p}},\] \[ρh·πr^{2}g = σ2πr.\]

  Odtud již vyjádříme hledanou výšku h.

  \[h = \frac{2σ}{rρg}.\tag{4}\]

  Získali jsme tak vztah pro výpočet výšky hladiny vody nad dnem nádoby. Nyní do tohoto vztahu (4) dosadíme hodnoty ze zadnání a vypočítáme h

  \[h = \frac{2·73·10^{−3}}{10^{−4}·10^{3}·9{,}81} \mathrm{m}\] \[h = 149·10^{−3} \mathrm{m} = 14{,}9 \mathrm{cm}.\]

• Odpověď

  Pro výšku hladiny platí vztah

  \[h = \frac{2σ}{rρg}.\]

  Hladina vody v polyetylenové nádobě s otvory ve dně zůstane asi 15 cm nad dnem nádoby.

• Poznámka 1

  Výška hladiny závisí na povrchovém napětí a hustotě kapaliny. Obě tyto veličiny závisí na teplotě. Výška hladiny vody v nádobě se tedy bude měnit v závislosti na teplotě vody.

  \[h = \frac{2σ}{rρg}\]

  Výška hladiny je přímo úměrná povrchovému napětí vody, které klesá s rostoucí teplotou. Zároveň je výška hladiny nepřímo úměrná hustotě vody a hustota vody od 4 °C s rostoucí teplotou také klesá.

  Pokles povrchového napětí s teplotou je ale rychlejší než pokles hustoty. S rostoucí teplotou vody bude tedy výška hladiny pomalu klesat (při teplotě 0 °C bude hladina vody přibližně 15,4 cm nad dnem nádoby, při teplotě 40 °C bude výška hladiny přibližně 14,3 cm a při teplotě 80 °C by byla výška hladiny přibližně 13,1 cm).

• Poznámka 2

  Této vlastnosti využívá například GORE-TEX, materiál, ve kterém jsou otvory o průměru přibližně 10⁻⁶ m. Tento materiál se používá k výrobě nepromokavého oblečení.