Změna volné entalpie hélia
Úloha číslo: 435
Hélium o hmotnosti 120 g bylo při teplotě 27 °C izotermicky stlačeno. Jeho tlak se při tom zvětšil na trojnásobek počáteční hodnoty. Určete, jak se při tomto procesu změnila volná entalpie hélia.
Molární hmotnost hélia je Mm = 4 g mol−1.
Zápis
m = 120 g = 0,120 kg hmotnost hélia t1 = 27 °C => T1 = 300 K teplota hélia p2 = 3p1 tlak po izotermickém stlačení Mm = 4 g mol−1 = 4·10−3 kg mol−1 molární hmotnost hélia ΔG = ? změna volné entalpie hélia Z tabulek:
R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Nápověda 1 – volná entalpie
Volná entalpie neboli Gibbsova energie je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[G=H-TS,\]kde H je entalpie, T termodynamická teplota a S entropie.
Jednotkou volné entalpie je joule.
Nápověda 2 – elementární změna volné entalpie dG
Vyjádření elementární změny volné entalpie dG dostanete diferenciací definičního vztahu pro volnou entalpii, tedy
\[\text{d}G = \text{d}H-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]Rozmyslete si, jak tento vztah upravit (zjednodušit), aby v něm vystupovaly jen zadané veličiny. Zejména je třeba odstranit elementární změnu entalpie dH.
Nápověda 3 – celková změna volné entalpie ΔG
Celkovou změnu volné entalpie ΔG určete integrací vztahu pro elementární změnu volné entalpie dG podle tlaku p.
Nápověda 4 – vyjádření objemu V(p)
K vyjádření objemu V jako funkci tlaku p použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.
Nápověda 5
K vyjádření změny volné entalpie pouze pomocí zadaných veličin nakonec využijte stavovou rovnici ideálního plynu.
Rozbor
Vyjdeme z definičního vztahu pro volnou entalpii, který zdiferencujeme. Získáme tak vyjádření elementární změny volné entalpie. K jeho zjednodušení využijeme vztah pro elementární změnu entalpie a matematické vyjádření 2. termodynamické věty. Navíc si uvědomíme, že změna teploty je při izotermickém ději nulová.
Celkovou změnu volné entalpie dostaneme integrací získaného vztahu pro její elementární změnu podle tlaku.
Objem jako funkci tlaku vyjádříme z Boyle-Mariottova zákona.
Nakonec ještě využijeme stavovou rovnici ideálního plynu.
Řešení
Volná entalpie neboli Gibbsova energie je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[G=H-TS,\]kde H je entalpie, T termodynamická teplota a S entropie.
Diferenciací definičního vzorce a využitím vztahu pro elementární změnu entalpie (viz úloha Změna entalpie dusíku)
\[\text{d}H = \text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p\]dostáváme
\[\text{d}G= \text{d}H-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T = \text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]Výraz dU + pdV − TdS je však podle matematické formulace 2. věty termodynamické roven nule.
V našem případě jde navíc o izotermický děj, takže elementární změna teploty je rovna nule, tj. dT = 0. Pro elementární změnu volné entalpie proto můžeme psát
\[\text{d}G=V\,\text{d}p.\]Celkovou změnu volné entalpie ΔG pak stanovíme integrací v mezích od p1 do p2. Přitom nezapomeneme, že pro izotermický děj platí tzv. Boyle-Mariottův zákon
\[p_1V_1=pV,\]ze kterého ihned dostáváme vyjádření objemu V jako funkci tlaku p:
\[V=\frac{p_1V_1}{p}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci
\[\Delta G = \int\limits_{p_1}^{p_2}V\,\text{d}p = \int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{p_1V_1}{p}\,\text{d}p =\]vytkneme konstanty před integrál
\[= p_1V_1\int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}\,\text{d}p =\]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1\,\left[\ln{p}\right]^{p_2}_{p_1}= p_1V_1\,\ln{\frac{p_2}{p_1}}= p_1V_1\,\ln{\frac{3p_1}{p_1}}= p_1V_1\,\ln\,3.\]S uvážením stavové rovnice ideálního plynu ve tvaru
\[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT_1,\]kde m je hmotnost, Mm molární hmotnost hélia a R molární plynová konstanta, nakonec můžeme psát
\[\Delta G = \frac{m}{M_m}RT_1\,\ln\,3.\]Číselné dosazení
\[\Delta G = \frac{m}{M_m}RT_1\,\ln\,3=\frac{0{,}12}{0{,}004}\cdot 8{,}31\cdot{ 300}\cdot \ln\,3\,\mathrm{kJ}\,\dot{=}\,82\,\mathrm{kJ}\]Odpověď
Volná entalpie se zvýšila přibližně o 82 kJ.
