Letící brok
Úloha číslo: 358
Určete rychlost, jakou musí letět olověný brok, aby dosáhl teploty tání:
a) při nárazu na nepohyblivou stěnu, na které se zastaví.
b) při průchodu stěnou, při kterém se zmenšila jeho rychlost na polovinu.
c) při nárazu na volně pohyblivou kuličku s pětkrát větší hmotností, která byla před nárazem broku v klidu a se kterou se bude dále pohybovat společně.
Předpokládejme, že kinetická energie broku, která se přemění na vnitřní energii, se rovnoměrně rozdělí mezi brok a překážku.
Nápověda
Ve všech případech je třeba určit změnu kinetické energie soustavy. Pro případ a) a b) je to jednoduché, protože známe rychlost broku před i po nárazu.
V případě c) musíme nejprve určit rychlost kuličky s brokem. Vzhledem k tomu, že se jedná o nepružnou srážku, použijeme zákon zachování hybnosti. Potom z rychlosti zjistíme kinetickou energii kuličky s brokem.
Rozbor
a) Díky tomu, že se před nárazem brok pohyboval, měl kinetickou energii, která se při nárazu přemění na vnitřní energii broku a stěny stejnou měrou. Polovina kinetické energie tedy musí být rovna teplu potřebnému na ohřátí broku na teplotu tání.
b) V tomto případě se nepřemění na vnitřní energii celá kinetická energie broku, ale pouze rozdíl kinetických energií před a po nárazu.
c) Jestliže po nárazu broku na kuličku dojde k jejich spojení (brok uvízne v kuličce) a dále se pohybují společně, mluvíme o tzv. nepružné srážce. V tomto případě neplatí zákon zachování mechanické energie, protože část kinetické energie se přemění na energii vnitřní. Platí ale zákon zachování hybnosti, který nám umožní najít vztah mezi rychlostmi před a po nárazu. Ze znalosti rychlostí také určíme změnu kinetické energie.
Řešení
Teplo potřebné na ohřátí broku o hmotnosti m na teplotu tání tt je rovno
\[Q=cm\left(t_\mathrm{t}-t_0\right),\]kde c je měrná tepelná kapacita materiálu, ze kterého je brok vyroben, a t0 počáteční teplota broku.
a) Kinetická energie broku o hmotnosti m pohybujícího se rychlostí o velikosti v je
\[E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2.\]Pouze polovina kinetické energie, která se přemění na vnitřní energii, se projeví zvýšením vnitřní energie broku. Zvýšení vnitřní energie broku odpovídá teplu potřebnému k jeho ohřátí, platí tedy:
\[\frac{1}{2}E_\mathrm{k}=Q,\] \[\frac{1}{4}mv^2=cm\left(t_\mathrm{t}-t_0\right).\]Odtud vyjádříme hledanou rychlost v:
\[v=\sqrt{4c\left(t_\mathrm{t}-t_0\right)}.\]b) Během průchodu broku stěnou se zmenší kinetická energie broku o hodnotu:
\[\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{4}\right)=\frac{3}{8}mv^2\]a přemění se na vnitřní energii, z toho polovinu přijme brok. Bude tedy platit:
\[\frac{1}{2}\Delta E_\mathrm{k}=Q\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}mv^2=cm\left(t_\mathrm{t}-t_0\right).\]Odtud dostaneme pro velikost v rychlosti vztah:
\[v=\sqrt{\frac{16}{3}c\left(t_\mathrm{t}-t_0\right)}.\]c) Při nepružném nárazu broku na kuličku o hmotnosti M = 5m platí zákon zachování hybnosti:
\[mv=\left(m+M\right)w.\]Využili jsme toho, že před nárazem byla kulička v klidu, pohyboval se pouze brok a rychlost broku s kuličkou po nárazu jsme označili w. Neznámou rychlost w po nárazu odtud vyjádříme ve tvaru:
\[w=\frac{m}{m+M}v=\frac{m}{m+5m}v=\frac{1}{6}v.\]Opět určíme změnu kinetické energie (pozor, po nárazu se teď pohybuje i kulička):
\[\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}\left(m+M\right)\left(\frac{v}{6}\right)^2=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}6m\left(\frac{v^2}{36}\right)=\frac{5}{12}mv^2,\]která se přemění na vnitřní energii, z níž polovinu přijme brok. Bude tedy platit:
\[\frac{1}{2}\Delta E_\mathrm{k}=Q\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{12}mv^2=cm\left(t_\mathrm{t}-t_0\right).\]Pro potřebnou rychlost v tomto případě tedy platí vztah:
\[v=\sqrt{\frac{24}{5}c\left(t_\mathrm{t}-t_0\right)}.\]Číselné dosazení
c = 130 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita olova tt = 327 °C teplota tání olova t0 = 20 °C počáteční teplota broku
a) \[v=\sqrt{4c(t_\mathrm{t}-t_0)}=\sqrt{4{\cdot}130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}399{,}5\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}400\,\mathrm{ms^{-1}}\] b) \[v=\sqrt{\frac{16}{3}c(t_\mathrm{t}-t_0)}=\sqrt{\frac{16}{3}\cdot130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}461{,}4\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}461\,\mathrm{ms^{-1}}\] c) \[v=\sqrt{\frac{24}{5}c\left(t_\mathrm{t}-t_0\right)}=\sqrt{\frac{24}{5}\cdot130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}437{,}7\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}438\,\mathrm{ms^{-1}}\]Odpověď
Jestliže má brok dosáhnout teploty tání, potom by před úplným zastavením v nepohyblivé stěně musel letět rychlostí o velikosti přibližně 400 m/s, před průchodem stěnou asi 460 m/s a před nárazem do pohyblivé kuličky asi 440 m/s.
