Letící brok
Úloha číslo: 358
Určete rychlost, jakou musí letět olověný brok, aby dosáhl teploty tání
a) při nárazu na nepohyblivou stěnu, na které se zastaví.
b) při průchodu stěnou, při kterém se zmenšila jeho rychlost na polovinu.
c) při nárazu na volně pohyblivou kuličku s pětkrát větší hmotností, která byla před nárazem broku v klidu a se kterou se bude dále pohybovat společně.
Předpokládejme, že kinetická energie broku, která se přemění na vnitřní energii, se rovnoměrně rozdělí mezi brok a překážku.
Nápověda
Ve všech případech je třeba určit změnu kinetické energie soustavy. Pro případ a) a b) je to jednoduché, protože známe rychlost broku před i po nárazu.
V případě c) musíme nejprve určit rychlost kuličky s brokem. Vzhledem k tomu, že se jedná o nepružnou srážku použijeme zákon zachování hybnosti. Potom z rychlosti zjistíme kinetickou energii kuličky s brokem.
Rozbor
a) Díky tomu, že se před nárazem brok pohyboval, měl kinetickou energii, která se při nárazu přemění na vnitřní energii broku a stěny stejnou měrou. Polovina kinetické energie tedy musí být rovna teplu potřebnému na ohřátí broku na teplotu tání.
b) V tomto případě se nepřemění na vnitřní energii celá kinetická energie broku, ale pouze rozdíl kinetických energii před a po nárazu.
c) Jestliže po nárazu broku na kuličku dojde k jejich spojení (brok uvízne v kuličce) a dále se pohybují společně, mluvíme o tzv. nepružné srážce. V tomto případě neplatí zákon zachování mechanické energie, protože část kinetické energie se přemění na energii vnitřní. Platí ale zákon zachování hybnosti, který nám umožní najít vztah mezi rychlostmi před a po nárazu. Ze znalosti rychlostí také určíme změnu kinetické energie.
Řešení
Teplo potřebné na ohřátí broku o hmotnosti m na teplotu tání tt je rovno
\[Q=cm\left(t_t-t_0\right),\]kde c je měrná tepelná kapacita materiálu, ze kterého je brok vyroben, a t0 počáteční teplota broku.
a) Kinetická energie broku o hmotnosti m pohybujícího se rychlostí o velikosti v je
\[E_k=\frac{1}{2}mv^2\]Pouze polovina kinetické energie, která se přemění na vnitřní energii, se projeví zvýšením vnitřní energie broku. Zvýšení vnitřní energie broku odpovídá teplu potřebnému k jeho ohřátí, platí tedy
\[\frac{1}{2}E_k=Q\] \[\frac{1}{4}mv^2=cm\left(t_t-t_0\right)\]odkud vyjádříme hledanou rychlost v
\[v=\sqrt{4c\left(t_t-t_0\right)}\]b) Během průchodu broku stěnou se zmenší kinetická energie broku o hodnotu
\[\Delta E_k=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{4}\right)=\frac{3}{8}mv^2\]a přemění se na vnitřní energii, z toho polovinu přijme brok. Bude tedy platit
\[\frac{1}{2}\Delta E_k=Q\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}mv^2=cm\left(t_t-t_0\right).\]Odtud dostaneme pro velikost v rychlosti vztah
\[v=\sqrt{\frac{16}{3}c\left(t_t-t_0\right)}\]c) Při nepružném nárazu broku na kuličku o hmotnosti M = 5m platí zákon zachování hybnosti:
\[mv=\left(m+M\right)w\]Využili jsme toho, že před nárazem byla kulička v klidu, pohyboval se pouze brok a rychlost broku s kuličkou po nárazu jsme označili w. Neznámou rychlost w po nárazu odtud vyjádříme ve tvaru
\[w=\frac{m}{m+M}v=\frac{m}{m+5m}v=\frac{1}{6}v\]Opět určíme změnu kinetické energie (pozor, po nárazu se teď pohybuje i kulička):
\[\Delta E_k=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}\left(m+M\right)\left(\frac{v}{6}\right)^2=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}6m\left(\frac{v^2}{36}\right)=\frac{5}{12}mv^2,\]která se přemění na vnitřní energii, z níž polovinu přijme brok. Bude tedy platit
\[\frac{1}{2}\Delta E_k=Q\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{12}mv^2=cm\left(t_t-t_0\right)\]Pro potřebnou rychlost v tomto případě tedy platí vztah
\[v=\sqrt{\frac{24}{5}c\left(t_t-t_0\right)}.\]Číselné dosazení
c = 130 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita olova tt = 327 °C teplota tání olova to = 20 °C počáteční teplota broku
a) \[v=\sqrt{4c(t_t-t_0)}=\sqrt{4{\cdot}130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}399{,}5\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}400\,\mathrm{ms^{-1}}\] b) \[v=\sqrt{\frac{16}{3}c(t_t-t_0)}=\sqrt{\frac{16}{3}\cdot130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}461{,}4\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}461\,\mathrm{ms^{-1}}\] c) \[v=\sqrt{\frac{24}{5}c\left(t_t-t_0\right)}=\sqrt{\frac{24}{5}\cdot130\cdot(327-20)}\,\mathrm{ms^{-1}}\] \[v\dot{=}437{,}7\,\mathrm{ms^{-1}}\dot{=}438\,\mathrm{ms^{-1}}\]Odpověď
Jestliže má brok dosáhnout teploty tání, potom by před úplným zastavením v nepohyblivé stěně musel letět rychlostí o velikosti přibližně 400 m/s, před průchodem stěnou asi 460 m/s a před nárazem do pohyblivé kuličky asi 440 m/s.
