Vytápění dřevěného srubu

Úloha číslo: 326

a) Jaké teplo projde za jeden zimní den bočními stěnami dřevěného srubu? Délka srubu je 10 m, šířka 7 m a výška stěn 3,5 m a jejich tloušťka 50 cm. Průměrná venkovní teplota je -10 °C a teplotu uvnitř udržujeme na hodnotě 18 °C.

b) Kolik dřeva je třeba na udržení dané vnitřní teploty spálit v kamnech s tepelnou účinností 30 % za jeden den?

c) Kolik by stálo elektrické vytápění tohoto srubu za jeden den? Účinnost elektrického vytápění je prakticky 100 % a průměrná cena elektrické energie je např. 4,30 Kč/kWh.

d) Jaký musí být průtok vody radiátorem, jestliže voda na vstupu do radiátoru má teplotu 80 °C a radiátor opouští s teplotou 70 °C?

Předpokládejme, že střecha je tak dobře tepelně izolovaná, že ztráty tepla střechou můžeme zanedbat

  • Nápověda

    Prošlé teplo lze spočítat pomocí rovnice vedení tepla.

  • Zápis

    a = 10 m délka srubu
    b = 7 m šířka srubu
    h = 3,5 m výška stěn srubu
    d = 50 cm  = 0,50 m tloušťka stěn srubu
    t1 = -10 oC průměrná venkovní teplota
    t2 = 18 oC teplota uvnitř srubu
    t3 = 80 oC teplota vody vstupující do radiátoru
    t4 = 70 oC teplota vody opouštějící radiátor
    τ = 1 d  = 86 400 s čas
    η = 30 % = 0,3 účinnost spalování dřeva
    Q = ? hledané teplo, které projde stěnami
    m = ? hmotnost spáleného dřeva
    qv = ? průtok vody v radiátoru
    Z tabulek:
    λ = 0,15 W m-1K-1 součinitel tepelné vodivosti dřeva
    H = 15 MJ kg-1 měrná výhřevnost dřeva
    cvoda = 4 180 J kg-1 K-1 měrná tepelná kapacita vody
  • Rozbor

    Teplo, které projde homogenní deskou (v našem případě stěnou, nehomogenity typu okna a dveře zanedbáme), je úměrné obsahu stěny, času, po který teplo prochází, a také teplotnímu rozdílu na obou stranách desky (za podmínky, že tento rozdíl má neměnnou hodnotu). Naopak je prošlé teplo nepřímo úměrné tloušťce desky (stěny). U jednotlivých materiálů udáváme jejich schopnost vést teplo pomocí tzv. součinitele tepelné vodivosti. Čím je větší, tím lépe teplo prochází. Pro výpočet tepla, které unikne stěnami za jeden den, známe veškeré potřebné hodnoty.

    Abychom vytápěním udrželi uvnitř srubu stálou teplotu, musíme dodávat stejné teplo, jako unikne. Při výpočtu potřebného množství dřeva využijeme jeho měrnou výhřevnost, tj. teplo, které získáme spálením 1 kg dřeva.

    Potřebný průtok vody v radiátoru spočítáme opět z toho, že voda musí odevzdat takové teplo, které je třeba na udržení stálé teploty v místnosti. Odevzdané teplo je úměrné rozdílu teplot vody, která vtéká a vytéká z radiátoru.

  • Řešení

    a) Pro vedení tepla platí vztah:

    \[Q=\lambda \frac{S \tau}{d} \Delta t\,,\]

    kde λ je součinitel tepelné vodivosti, S celkový obsah stěn, pro který platí

    \[S=(2a+2b)h\,,\]

    d je tloušťka stěn, τ doba, za kterou prošlé teplo počítáme, a Δt = t2t1 rozdíl teplot uvnitř a vně srubu.

    Dosazením dostáváme vztah, do kterého můžeme dosadit zadané hodnoty:

    \[Q=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\tau}{d}\left(t_2-t_1\right)\,,\] \[Q=0{,}15\cdot\frac{\left(2\cdot{10}+2\cdot{7}\right)\cdot3{,}5\cdot{86400}}{0{,}5}\cdot\left[18-(-10)t_1\right]\,\mathrm{J}\,,\] \[Q\dot{=}8{,}6\cdot{10}^{7}\,\mathrm{J}=86\,\mathrm{MJ}\,.\]

    b) Spálením dřeva o hmotnosti m získáme teplo Hm. K vyhřívání srubu využíváme pouze η = 30 % tohoto tepla (tepelná účinnost kotle na dřevo). Teplo využité na vyhřívání srubu se musí rovnat teplu, které uniká, tedy

    \[Q=\eta Hm\,,\]

    Odtud vyjádříme a dosazením spočítáme hledanou hmotnost dřeva m:

    \[m=\frac{Q}{\eta H}=\frac{86\,\mathrm{MJ}}{0{,}3\cdot{15}\,\mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}}\dot{=}19\,\mathrm{kg}\,.\]

    c) Nejprve si odvodíme převodní vztah mezi jednotkami energie:

    \[1\,\mathrm{kWh}=1\,\mathrm{kW}\cdot1\,\mathrm{h}=1000\,\mathrm{W}\cdot\,3600\,\mathrm{s}=3{,}6\cdot{10^6}\,\mathrm{Ws}=3{,}6\,\mathrm{MJ}\,.\]

    Z převodního vztahu vidíme, že 3,6 MJ elektrické energie stojí 4,30 Kč. To znamená, že za elektrické vytápění bychom každý den zaplatili

    \[\frac{86}{3{,}6}\cdot4{,}30\,\mathrm{Kc}=103\,\mathrm{Kc}\,.\]

    d) Jestliže si označíme průtok vody radiátorem qv, potom za čas τ projde radiátor qvτ vody. Tato voda se ochladí, takže odevzdá teplo o velikosti

    \[Q_V=cq_V\tau \left(t_3-t_4\right)\,.\]

    Porovnáme teplo dodané vodou a teplo, které unikne stěnami

    \[Q_V=Q\,,\] \[c_{\mathrm{voda}}q_V\tau\left(t_3-t_4\right)=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\tau}{d}\left(t_2-t_1\right)\,.\]

    Vyjádříme neznámý průtok a dosadíme zadané hodnoty:

    \[q_V=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\left(t_2-t_1\right)}{c_{\mathrm{voda}}d\left(t_3-t_4\right)}\,,\] \[q_V=0{,}15\cdot\frac{\left(2\cdot{10}+2\cdot{7}\right)\cdot{3{,}5}\cdot\left[18-(-10)\right]}{4180\cdot{0{,}5}\cdot\left(80-70\right)}\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}\,,\] \[q_V\dot{=}0{,}024\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}=86\,\mathrm{kg\cdot h^{-1}}\,.\]
  • Odpověď

    Bočními stěnami srubu projde za den teplo přibližně 86 MJ. Pro udržení stálé teploty bychom museli spálit každý den asi 19 kg dřeva. Za elektrické vytápění bychom zaplatili 103 Kč denně. Radiátorem musí protéci asi 86 litrů vody za hodinu.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze