Polytropická komprese plynu
Úloha číslo: 409
Původní tlak ideálního plynu byl 100 kPa a po polytropické kompresi vzrostl na osminásobek. Jeho původní objem 20 m3 se při tom čtyřikrát zmenšil. Určete polytropický koeficient a práci, kterou bylo třeba při stlačení vykonat.
Nápověda 1 – polytropický děj
V úloze se jedná o polytropický děj s ideálním plynem, pro jehož tlak p a objem V platí
\[pV^{\eta}= \mathrm{konst.},\]resp. pro počáteční tlak p1 a objem V1 a pro koncový tlak p2 a objem V2
\[p_1V_1^{\eta} = p_2V_2^{\eta},\]kde η je polytropický koeficient.
Poznámka: Všimněte si, že speciálními případy polytropického děje jsou adiabatický děj (η = κ, tzv. Poissonova konstanta), při kterém nedochází k tepelné výměně mězi soustavou a okolím, a izotermický děj (η = 1), u kterého naopak předpokládáme, že je tepelná výměna mezi soustavou a okolím dokonalá. Hodnota polytropického koeficientu η tedy leží mezi hodnotami 1 a κ.
Nápověda 2 – vykonaná práce
Rozmyslete si, jak spočítat práci, která musí být při kompresi vykonaná, je-li tlak funkcí objemu.
Nápověda 3
Pro vyjádření tlaku p jako funkce objemu V použijte zákon, kterým se řídí polytropický děj a který je uvedený v Nápovědě 1.
Zápis
p1 = 100 kPa =105 Pa původní tlak plynu p2 = 8p1 tlak plynu po polytrop. kompresi V1 = 20 m3 původní objem plynu V2 = 1/4V1 objem plynu po polytrop. kompresi η = ? polytropický exponent W = ? vykonaná práce Rozbor – polytropický koeficient
Nejprve si napíšeme vztah mezi počátečními a výslednými tlaky a objemy, který platí pro polytropický děj s ideálním plynem. Vzniklou exponenciální rovnici zlogaritmujeme a použijeme známá pravidla pro počítání s logaritmy, abychom vyjádřili hledaný polytropický koeficient.
Výpočet polytropického koeficientu
Pro polytropický děj s ideálním plynem, platí mezi počátečními a výslednými objemy a tlaky rovnice
\[p_1V_1^{\eta} = p_2V_2^{\eta},\]kde η je polytropický koeficient.
Dosadíme-li za p2 a V2 vyjádření ze zadání, dostaneme
\[p_1V_1^{\eta}=8p_1\left(\frac{1}{4}V_1\right)^{\eta}\]a po úpravě
\[8=4^{\eta}.\]Rovnici zlogaritmujeme
\[\log\,8=\log\,4^{\eta},\]použijeme známé pravidlo pro počítání s logaritmy
\[\log\,{a^b}=b\,\log\,{a}\]a dostaneme
\[\log\,{8}=\eta\,\log\,{4}.\]Odtud již snadno vyjádříme polytropický koeficient η
\[\eta = \frac{\log\,8}{\log\,4} = \frac{\log\,2^3}{\log\,2^2} = \frac{3\,\log\,2}{2\,\log\,2} = 1{,}5.\]Rozbor – vykonaná práce
Pro výpočet práce vykonané při kompresi musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.
Tlak plynu vyjádříme ze vztahu mezi tlaky a objemy platného pro polytropický děj ideálního plynu. Získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem plynu.
Výpočet vykonané práce
Vzhledem k nekonstantnosti tlaku p použijeme pro výpočet práce W, kterou je třeba vykonat při stlačení plynu, vzorec
\[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V,\]kde V1 je původní objem plynu a V2 jeho objem po kompresi.
Protože pro polytropický děj platí zákon
\[p_1V_1^{\eta} = pV^{\eta},\]kde η je polytropický koeficient, můžeme tlak p vyjádřit jako funkci objemu V takto:
\[p=\frac{p_1V_1^{\eta}}{V^{\eta}}.\]Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci
\[W = -\int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V = -\int\limits_{V_1}^{\frac{V_1}{4}}\frac{p_1V_1^{\eta}}{V^{\eta}} \, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[= -p_1V_1^{\eta} \int\limits_{V_1}^{\frac{V_1}{4}}\frac{1}{V^{\eta}} \, \text{d}V =\]zintegrujeme a dosadíme meze
\[= -p_1V_1^{\eta}\ \frac{1}{-\eta + 1}\left[V^{-\eta + 1}\right]_{V_1}^{\frac{V_1}{4}}= \frac{p_1V_1^{\eta}}{\eta-1}\left[\left(\frac{V_1}{4}\right)^{-\eta + 1} - V_1^{-\eta + 1}\right].\]Po úpravě potom dostaneme
\[W = p_1V_1\,\frac{4^{\eta - 1} - 1}{\eta-1}.\]Číselné dosazení
\[W = p_1V_1\frac{4^{\eta - 1} - 1}{\eta-1}\] \[W= 10^5\cdot{20}\cdot \frac{4^{1{,}5-1}-1}{1{,}5-1}\, \mathrm{J}=4\cdot{10^6}\, \mathrm{J}= 4\, \mathrm{MJ}\]Odpověď
Koeficient příslušného polytropického děje je 1,5.
Při stlačení bylo třeba vykonat práci o velikosti 4 MJ.
