Změna volné energie kyslíku
Úloha číslo: 439
Kyslík o hmotnosti 20 g zvětšil při teplotě 288,15 K izotermicky svůj objem na dvojnásobný. Určete, jaká je změna volné energie kyslíku při tomto ději.
Předpokládejte, že kyslík se chová jako ideální plyn a že uvažovaný děj je kvazistatický (je možné pro něj použít zákony rovnovážné termodynamiky).
Zápis
m = 20 g = 0,020 kg hmotnost kyslíku T = 288,15 K teplota v průběhu děje V2 = 2V1 objem kyslíku po izotermickém ději ΔF = ? změna volné energie kyslíku Z tabulek:
R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Mm = 32 g mol−1 = 0,032 kg mol−1 molární hmotnost kyslíku Nápověda 1 – volná energie
Volná energie F je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[F=U-TS,\]kde U je vnitřní energie, T termodynamická teplota a S entropie.
Jednotkou volné energie je joule.
Nápověda 2 – elementární změna volné energie dF
Vyjádření elementární změny volné energie dF dostanete diferenciací definičního vztahu pro volnou energii, tedy
\[\text{d}F = \text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]Hodnoty některých veličin z tohoto vztahu však neznáme. Rozmyslete si, jak vzorec upravit, aby na pravé straně vystupovaly jen zadané veličiny.
Nápověda 3 – celková změna volné energie ΔF
Celkovou změnu volné energie ΔF určete integrací vztahu pro elementární změnu volné energie dF podle objemu V.
Nápověda 4 – vyjádření tlaku p(V)
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.
Nápověda 5
K vyjádření změny volné energie pouze pomocí zadaných veličin ještě nakonec použijte stavovou rovnici ideálního plynu.
Rozbor
Vyjdeme z definičního vztahu pro volnou energii, který zdiferencujeme. Získáme tak elementární změnu volné energie. Abychom ji mohli vyjádřit pouze pomocí zadaných veličin, využijeme matematické vyjádření 1. a 2. termodynamické věty. Navíc si uvědomíme, že změna teploty je při izotermickém ději nulová.
Celkovou změnu volné energie dostaneme integrací získaného vztahu pro její elementární změnu podle objemu.
Tlak jako funkci objemu vyjádříme z Boyle-Mariottova zákona.
Nakonec ještě využijeme stavovou rovnici ideálního plynu.
Řešení
Volná energie F plynu je termodynamický potenciál definovaný vztahem
\[F=U-TS,\]kde U je vnitřní energie, T termodynamická teplota a S entropie.
Diferenciací definičního vztahu dostáváme vyjádření elementární změny volné energie dF:
\[\text{d}F = \text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]Užijeme-li matematické vyjádření 1. a 2. termodynamické věty ve tvaru
\[\text{d}U=T\,\text{d}S-p\,\text{d}V,\]můžeme psát:
\[\text{d}F=\text{d}U-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T = -p\,\text{d}V-S\,\text{d}T.\]Jelikož se však v našem případě jedná o izotermický děj, je elementární změna teploty rovna nule, tj. dT = 0. Elementární změna volné energie dF je tedy rovna záporně vzaté elementární práci plynu dW:
\[\text{d}F=-\text{d}W=-p\,\text{d}V. \]Celkovou změnu volné energie ΔF vypočítáme integrací uvedeného vztahu podle objemu V:
\[\Delta F= -\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V.\]K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon
\[p_1V_1=pV.\]Odtud ihned dostáváme
\[p=\frac{p_1V_1}{V}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:
\[\Delta F= -\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V = -\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\,\text{d}V = \]vytkneme konstanty před integrál
\[= -p_1V_1\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,\text{d}V = \]zintegrujeme a dosadíme meze
\[ = -p_1V_1\,[\ln {V}]_{V_1}^{V_2} = -p_1V_1\,\ln{\frac{V_2}{V_1}}=\] \[=-p_1V_1\, \ln{\frac{2V_1}{V_1}}=-p_1V_1\,\ln\,{2}.\]S uvážením stavové rovnice ideálního plynu ve tvaru
\[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT_1,\]kde m je hmotnost, Mm molární hmotnost hélia a R molární plynová konstanta, nakonec můžeme psát
\[\Delta F = -\frac{m}{M_m}RT\,\ln\,{2}.\]Číselné dosazení
\[\Delta F= -\frac{m}{M_m}RT\,\ln\,{2}= -\frac{0{,}020}{0{,}032}\cdot{ 8{,}31}\cdot {288{,}15}\cdot \ln\,{2}\,\mathrm{J}\dot{=}-1040\,\mathrm{J}\]Odpověď
Volná energie kyslíku poklesla přibližně o 1040 J.
